Площадь выпуклого четырехугольника равна половине произведения диагоналей на синус угла между ними.
Дан четырехугольник ABCD с диагоналями AC и BC, .
Докажем, что его площадь .
Напомним, что в качестве угла между прямыми мы берем острый угол.
Четырехугольник ABCD разобьем на четыре треугольника (AOD,COD,BOC,BOA).
Площадь треугольника равна половине произведения сторон на синус угла между ними. Обозначим для удобства равные вертикальные углы .
Тогда площади треугольников
Площадь четырехугольника ABCD равна сумме площадей треугольников, на которые он разбивается диагоналями
Так как
Полезное следствие.
Площадь ромба равна половине произведения его диагоналей.
Диагонали ромба перпендикулярны, угол между ними равен ,
.
Для ромба ABCD: