Площадь выпуклого четырехугольника равна половине произведения диагоналей на синус угла между ними.
Дан четырехугольник ABCD с диагоналями AC и BC, \(AC\cap BD=O\).
Докажем, что его площадь \(S_{ABCD}=\frac{1}{2}AC \cdot BD \cdot sin \angle BOA\).
Напомним, что в качестве угла между прямыми мы берем острый угол.
Четырехугольник ABCD разобьем на четыре треугольника (AOD,COD,BOC,BOA).
Площадь треугольника равна половине произведения сторон на синус угла между ними. Обозначим для удобства равные вертикальные углы \(\angle BOA = \angle COD = \alpha, \angle BOC = \angle AOD = \beta\).
Тогда площади треугольников
\(S_{\triangle BOA}=\frac{1}{2}BO \cdot AO \cdot \sin \alpha\)
\(S_{\triangle BOC}=\frac{1}{2}BO \cdot OC \cdot \sin \beta\)
\(S_{\triangle OCD}=\frac{1}{2}CO \cdot OD \cdot \sin \alpha\)
\(S_{\triangle AOD}=\frac{1}{2}AO \cdot OD \cdot \sin \beta\)
Площадь четырехугольника ABCD равна сумме площадей треугольников, на которые он разбивается диагоналями
\(S_{ABCD}=S_{\triangle BOA}+S_{\triangle BOC}+S_{\triangle OCD}+S_{\triangle AOD}\)
\(S_{ABCD}=\frac{1}{2}sin \alpha \left ( AO \cdot BO+OC \cdot OD \right )+\frac{1}{2}sin \beta \left ( CO \cdot BO +AO \cdot OD \right )\)
Так как \(\alpha + \beta = 180 ^{\circ} , sin \alpha = sin \beta.\)
\(S_{ABCD}=\frac{1}{2}sin \alpha \left ( AO \cdot BO+OC \cdot OD+CO \cdot BO+AP \cdot OD \right )\)
\(S_{ABCD}=\frac{1}{2}sin \alpha \left ( AO \cdot \left ( BO+OD \right )+OC \cdot \left ( OD+BO \right ) \right )\)
\(S_{ABCD}=\frac{1}{2}sin \alpha \left ( AO+OC \right )\left ( BO+OD \right )\)
\(S_{ABCD}=\frac{1}{2} BD \cdot AC \cdot AO\cdot OD\)
Полезное следствие.
Площадь ромба равна половине произведения его диагоналей.
Диагонали ромба перпендикулярны, угол между ними равен \(90 ^{\circ}\), \(sin90 ^{\circ} =1\).
Для ромба ABCD:
\(S_{ABCD}=\frac{1}{2} BD \cdot AC\)
