Площадь выпуклого четырехугольника равна половине произведения диагоналей на синус угла между ними.
Дан четырехугольник \(ABCD\) с диагоналями \(AC\) и \(BC, \ AC\cap BD=O.\)
Докажем, что его площадь \(S_{ABCD}=\displaystyle \frac{1}{2}AC \cdot BD \cdot sin \angle BOA.\)
Напомним, что в качестве угла между прямыми мы берем острый угол.
Четырехугольник \(ABCD\) разобьем на четыре треугольника \( (AOD, \ COD, \ BOC, \ BOA).\)
Площадь треугольника равна половине произведения сторон на синус угла между ними. Обозначим для удобства равные вертикальные углы \(\angle BOA = \angle COD = \alpha, \ \angle BOC = \angle AOD = \beta.\)
Тогда площади треугольников:
\(S_{\triangle BOA}=\displaystyle \frac{1}{2}BO \cdot AO \cdot \sin \alpha;\)
\(S_{\triangle BOC}=\displaystyle \frac{1}{2}BO \cdot OC \cdot \sin \beta;\)
\(S_{\triangle OCD}=\displaystyle \frac{1}{2}CO \cdot OD \cdot \sin \alpha;\)
\(S_{\triangle AOD}=\displaystyle \frac{1}{2}AO \cdot OD \cdot \sin \beta.\)
Площадь четырехугольника \(ABCD\) равна сумме площадей треугольников, на которые он разбивается диагоналями:
\(S_{ABCD}=S_{\triangle BOA}+S_{\triangle BOC}+S_{\triangle OCD}+S_{\triangle AOD};\)
\(S_{ABCD}=\displaystyle \frac{1}{2}sin \alpha \left ( AO \cdot BO+OC \cdot OD \right )+\displaystyle \frac{1}{2}sin \beta \left ( CO \cdot BO +AO \cdot OD \right ).\)
Так как \(\alpha + \beta = 180 ^{\circ} , \ sin \alpha = sin \beta.\)
\(S_{ABCD}=\displaystyle \frac{1}{2}sin \alpha \left ( AO \cdot BO+OC \cdot OD+CO \cdot BO+AP \cdot OD \right );\)
\(S_{ABCD}=\displaystyle \frac{1}{2}sin \alpha \left ( AO \cdot \left ( BO+OD \right )+OC \cdot \left ( OD+BO \right ) \right );\)
\(S_{ABCD}=\displaystyle \frac{1}{2}sin \alpha \left ( AO+OC \right )\left ( BO+OD \right );\)
\(S_{ABCD}=\displaystyle \frac{1}{2} BD \cdot AC \cdot AO\cdot OD.\)
Полезное следствие.
Площадь ромба равна половине произведения его диагоналей.
Диагонали ромба перпендикулярны, угол между ними равен \(90 ^{\circ}, \ sin90 ^{\circ} =1.\)
Для ромба \(ABCD: \ S_{ABCD}=\displaystyle \frac{1}{2} BD \cdot AC.\)
