Анна Малкова
Рассмотрим прямоугольный треугольник ABC (угол C – прямой), в который вписана окружность с центром в точке O и радиусом r. Катеты AC=b,BC=a, гипотенуза AB=c. Надо доказать, что .
Вспомним, что отрезки касательных к окружности, проведенные из одной точки, равны.
Проведем
Смежные стороны четырехугольника CMON равны (ON=OM=r), все углы прямые , значит, CMON – квадрат.
Тогда NC=CM=r, AN=AP=b-r (по свойству длин отрезков касательных); аналогично BM=BP=a-r.
Поскольку АВ = АР + ВР, получим:
, отсюда
.
Задача ЕГЭ по теме «Радиус окружности, вписанной в прямоугольный треугольник»
Катеты равнобедренного прямоугольного треугольника равны . Найдите радиус окружности, вписанной в этот треугольник.
Радиус окружности, вписанной в прямоугольный треугольник: . Гипотенуза равнобедренного прямоугольного треугольника в
раз больше катета. Получим:
Ответ: 41.