Восток. Задание №18. Параметры в системе уравнений на ЕГЭ

Анна Малкова - автор книг для подготовки к ЕГЭ, ведущая Онлайн-курса подготовки к ЕГЭ на 100 баллов, руководитель компании «ЕГЭ-Студия» (Курсы ЕГЭ).

Найдите все значения параметра a, при каждом из которых система имеет решение.

$\left\{\begin{matrix}x^2+4\left ( a+1 \right )x+3a^2+4a \textless 0,\\x^2+a^2=16\end{matrix}\right.$

Преобразуем первое неравенство:

$x^2+4(a+1)x+3a^2+4a \textless 0$

Рассмотрим уравнение

$x^2+4(a+1)x+3a^2+4a=0$ – квадратное уравнение с параметром a.

Подберём корни по теореме Виета.
Если квадратное уравнение $ax^2+bx+c=0$ имеет корни $x_1$ и $x_2,$ то $\displaystyle x_1+x_2 = -\frac{b}{a}; x_1 x_2 = \frac{c}{a}.$

$x_1+x_2=-4a-4$

$x_1x_2=a(3a+4),$ тогда по теореме Виета,

$x_1=-a$

$x_2=-3a-4$

Найдя корни квадратного уравнения, разложим левую часть первого неравенства на множители. Система примет вид:

$\left\{\begin{matrix}(x+a)(x+3a+4) \, \textless \, 0 \\ x^2+a^2=16\end{matrix}\right.$

Решим неравенство методом областей в координатах $(a;x)$

Прямая $x=-a$ задаёт биссектрису 1-го и 3-го координатных кругов.

Прямая $x=-3a-4$ проходит через точку $B(0;-4)$ и пересекает прямую $x=-a$ в точке $A(-2;2)$

Найдём, в каких областях координатной плоскости выполняется неравенство $z(x;a)=(x+a)(x+3a+4) \textless 0.$
Для точки $M(1;-2)$ получим:

$z(1;-2)=-(-2+3+4) \textless 0$

Системе из уравнения и неравенства удовлетворяют точки, лежащие на дугах BC и DE окружности.

Найдём координаты точек B, C, D, T.

Точка $B(0;-4)$
$\displaystyle C(\frac{4}{\sqrt{2}};-\frac{4}{\sqrt{2}})$
$\displaystyle D(-\frac{4}{\sqrt{2}}; \frac{4}{\sqrt{2}})$

В точке E прямая $x=-3a-4$ пересекает окружность $x^2+a^2=16.$

Для точки E:

$(3a+4)^2+a^2=16$

$9a^2+24a+16+a^2=16$

$10a^2+24a=0$

Система имеет решения, если $\displaystyle a \in \left ( -2\sqrt{2};-\frac{12}{5} \right )$ (дуга DE) или $a \in \left ( 0; -2\sqrt{2} \right )$ (дуга BC)

Ответ: $\displaystyle a \in \left ( -2\sqrt{2};-\frac{12}{5} \right ) \cup \left ( 0; -2\sqrt{2} \right )$

Благодарим за то, что пользуйтесь нашими материалами. Информация на странице «Восток. Задание №18. Параметры в системе уравнений на ЕГЭ» подготовлена нашими редакторами специально, чтобы помочь вам в освоении предмета и подготовке к экзаменам. Чтобы успешно сдать необходимые и поступить в высшее учебное заведение или колледж нужно использовать все инструменты: учеба, контрольные, олимпиады, онлайн-лекции, видеоуроки, сборники заданий. Также вы можете воспользоваться другими материалами из данного раздела.

Публикация обновлена: 04.03.2023

Восток. Задание №18. Параметры в системе уравнений на ЕГЭ

Это полезно