previous arrow
next arrow
Slider

Восток. Задание №18. Параметры в системе уравнений на ЕГЭ

Анна Малкова (автор книги для подготовки к ЕГЭ, ведущая годового Онлайн-курса подготовки к ЕГЭ на 100 баллов, руководитель компании «ЕГЭ-студия» (Курсы ЕГЭ)).

Найдите все значения a, при каждом из которых система имеет решение.

Не хочется решать аналитически.

{ x }^{ 2 }+{ y }^{ 2 }=16 – это окружность центра в начале координат, радиус = 4. Эта окружность в координатах (х;у).

В нашем случае, второе уравнение – это окружность в координатах (х;а).

Давайте попытаемся нарисовать график в координатах (х;а) или (а;х).

Стоит начать с первого неравенства { x }^{ 2 }+4(a+1)x+3{ a }^{ 2 }+4a<0

Аналитически это неравенство я решать не буду.

Понятно, что надо как-то его преобразовать.

Рассмотрим уравнение: { x }^{ 2 }+(4a+4)x+3{ a }^{ 2 }+4a=0

Это квадратное уравнение с параметром а.

Можно просто искать дискриминант и корни этого уравнения. Нам нужно, чтобы система имела решение. Не обязательно, чтобы дискриминант был неотрицательным, потому что может быть квадратичное неравенство, например { x }^{ 2 }+bx+c<0. Может ли оно иметь решение, если у меня дискриминант этого выражения отрицательный Д<0? Нет, решений не будет. Значит, все-таки дискриминант должен быть неотрицательным. А если дискриминант равен 0? У нас парабола, и дискриминант, равный нулю, мне тоже не подходит. Значит, дискриминант должен быть больше 0. Найдем дискриминант. D=16{ (a+1) }^{ 2 }-4(3{ a }^{ 2 }+4a)=16{ a }^{ 2 }+32a+16-12{ a }^{ 2 }-16a=4{ a }^{ 2 }+16a+16>0

{ a }^{ 2 }+4a+4>0

В левой части полный квадрат { (a+2) }^{ 2 }>0 при a\neq -2

Не хочется искать корни квадратного уравнения по нашей стандартной формуле. Нужно найти вариант по проще. Попробуем подобрать корни по теореме Виета.

Если есть квадратное уравнение a{ x }^{ 2 }+bx+c=0, то { x }_{ 1 }+{ x }_{ 2 }=-\frac { b }{ a }, { x }_{ 1 }{ x }_{ 2 }=\frac { c }{ a } .

По теореме Виета

{ x }_{ 1 }{ +x }_{ 2 }=-4a-4

{ x }_{ 1 }{ x }_{ 2 }=a(3a+4)

Отсюда: { x }_{ 1 }=-a,\quad { x }_{ 2 }=-3a-4

Вот и наши корни, которые полностью подходят по теореме Виета.

Всю левую часть первого неравенства раскладываем на множители, и тогда система примет вид:

А теперь решим это графически в координатах (а;х). По горизонтальной оси будет а, по вертикальной оси будет х.

На графике будет окружность, заданная вторым уравнением, а первое неравенство я обхитрю.

Скажу, что уравнение (x+a)(x+3a+4)=0 в координатах (а;х) задает пару прямых х=-а или х=-3а-4, потому что произведение двух множителей равно 0 тогда и только тогда, когда хотя бы один из них равен 0, а другой имеет смысл. То есть х=-а и х=-3а-4 – это те прямые, которые являются решением уравнения, похожего на наше неравенство. А у нас - неравенство, значит у нас будут области между этими прямыми.

Решим графически в координатах (а;х) методом областей. Начинаем рисовать.

Координаты у нас не обычные (х;у), а (а;х). Второе уравнение задает окружность такую, что { R }^{ 2 }=16,\quad R=4.

Рисуем окружность с радиусом 4. Обратите внимание, что в первом неравенстве само неравенство строгое, отсюда следует, что прямые будут штриховыми. У нас получится биссектриса
2-ой и 4-ой четвертей круга

Вторая прямая -3а-4. В нуле будет -4. Вторую точку возьмем -2, в ней будет 6-4=2. Мы получили точку, которая лежит и на первой прямой. А=-2 – нет решения, точка будет пустая, она лежит на двух прямых, которые обе штриховые и которые не являются решениями неравенства.

Теперь нам надо найти области между этими прямыми. Две прямые делят нашу координатную плоскость на области, в каждой из этих областей выражение в левой части неравенства будет определенного знака. Это очень похоже на метод интервалов, но мы все рисуем не на одной прямой, а – в двумерном пространстве, в области. Взяли метод интервалов и расширили его для областей.

Метод областей – это аналог метода интервалов, только на плоскости. В интервале мы брали какую-то точку с этого интервала, подставляли ее в неравенство и получали результат.

А здесь у нас 4 используемые области. Возьмем какую-нибудь точку из правой верхней области, например, точка Р с координатами (1;1). Подставляем координаты в неравенство вместо а1 и х1. Получаем меньше нуля, наше условие не выполняется. Значит, в этой области неравенство выполняться не будет.

Можно отмечать, где неравенство выполняется, а где – невыполняется. А можно отмечать знаки выражения. Будем отмечать знаки выражения в левой части неравенства (x+a)(x+3a+4)

Тогда в правой верхней области будет +