previous arrow
next arrow
Slider

Восток. Задание №18. Параметры в системе уравнений на ЕГЭ

Анна Малкова - автор книг для подготовки к ЕГЭ, ведущая Онлайн-курса подготовки к ЕГЭ на 100 баллов, руководитель компании «ЕГЭ-Студия» (Курсы ЕГЭ).

Найдите все значения параметра a, при каждом из которых система имеет решение.

\left\{\begin{matrix}x^2+4\left ( a+1 \right )x+3a^2+4a \textless 0,\\x^2+a^2=16\end{matrix}\right.

Преобразуем первое неравенство:

x^2+4(a+1)x+3a^2+4a \textless 0

Рассмотрим уравнение

x^2+4(a+1)x+3a^2+4a=0 – квадратное уравнение с параметром a.

Подберём корни по теореме Виета.
Если квадратное уравнение ax^2+bx+c=0 имеет корни x_1 и x_2, то \displaystyle x_1+x_2 = -\frac{b}{a}; x_1 x_2 = \frac{c}{a}.

x_1+x_2=-4a-4

x_1x_2=a(3a+4), тогда по теореме Виета,

x_1=-a

x_2=-3a-4

Найдя корни квадратного уравнения, разложим левую часть первого неравенства на множители. Система примет вид:

\left\{\begin{matrix}(x+a)(x+3a+4) \, \textless \, 0 \\ x^2+a^2=16\end{matrix}\right.

Решим неравенство методом областей в координатах (a;x)

Прямая x=-a задаёт биссектрису 1-го и 3-го координатных кругов.

Прямая x=-3a-4 проходит через точку B(0;-4) и пересекает прямую x=-a в точке A(-2;2)

Найдём, в каких областях координатной плоскости выполняется неравенство z(x;a)=(x+a)(x+3a+4) \textless 0.
Для точки M(1;-2) получим:

z(1;-2)=-(-2+3+4) \textless 0

Системе из уравнения и неравенства удовлетворяют точки, лежащие на дугах BC и DE окружности.

Найдём координаты точек B, C, D, T.

Точка B(0;-4)
\displaystyle C(\frac{4}{\sqrt{2}};-\frac{4}{\sqrt{2}})
\displaystyle D(-\frac{4}{\sqrt{2}}; \frac{4}{\sqrt{2}})

В точке E прямая x=-3a-4 пересекает окружность x^2+a^2=16.

Для точки E:

(3a+4)^2+a^2=16

9a^2+24a+16+a^2=16

10a^2+24a=0


Система имеет решения, если \displaystyle a \in \left ( -2\sqrt{2};-\frac{12}{5} \right ) (дуга DE) или a \in \left ( 0; -2\sqrt{2} \right ) (дуга BC)

Ответ: \displaystyle a \in \left ( -2\sqrt{2};-\frac{12}{5} \right ) \cup \left ( 0; -2\sqrt{2} \right )