Анна Малкова - автор книг для подготовки к ЕГЭ, ведущая Онлайн-курса подготовки к ЕГЭ на 100 баллов, руководитель компании «ЕГЭ-Студия» (Курсы ЕГЭ).
Найдите все значения параметра a, при каждом из которых система имеет решение.
\(\left\{\begin{matrix}
x^2+4\left ( a+1 \right )x+3a^2+4a \textless 0,\\x^2+a^2=16
\end{matrix}\right.\)
Преобразуем первое неравенство:
\(x^2+4(a+1)x+3a^2+4a \textless 0\)
Рассмотрим уравнение
\(x^2+4(a+1)x+3a^2+4a=0\) – квадратное уравнение с параметром a.
Подберём корни по теореме Виета.
Если квадратное уравнение \(ax^2+bx+c=0\) имеет корни \(x_1\) и \(x_2,\) то \(\displaystyle x_1+x_2 = -\frac{b}{a}; x_1 x_2 = \frac{c}{a}.\)
\(x_1+x_2=-4a-4\)
\(x_1x_2=a(3a+4),\) тогда по теореме Виета,
\(x_1=-a\)
\(x_2=-3a-4\)
Найдя корни квадратного уравнения, разложим левую часть первого неравенства на множители. Система примет вид:
\(\left\{\begin{matrix}
(x+a)(x+3a+4) \, \textless \, 0 \\ x^2+a^2=16
\end{matrix}\right.\)
Решим неравенство методом областей в координатах \((a;x)\)
Прямая \(x=-a\) задаёт биссектрису 1-го и 3-го координатных кругов.
Прямая \(x=-3a-4\) проходит через точку \(B(0;-4)\) и пересекает прямую \(x=-a\) в точке \(A(-2;2)\)
Найдём, в каких областях координатной плоскости выполняется неравенство \(z(x;a)=(x+a)(x+3a+4) \textless 0.\)
Для точки \(M(1;-2)\) получим:
\(z(1;-2)=-(-2+3+4) \textless 0\)
Системе из уравнения и неравенства удовлетворяют точки, лежащие на дугах BC и DE окружности.
Найдём координаты точек B, C, D, T.
Точка \(B(0;-4)\)
\(\displaystyle C(\frac{4}{\sqrt{2}};-\frac{4}{\sqrt{2}})\)
\(\displaystyle D(-\frac{4}{\sqrt{2}}; \frac{4}{\sqrt{2}})\)
В точке E прямая \(x=-3a-4\) пересекает окружность \(x^2+a^2=16.\)
Для точки E:
\((3a+4)^2+a^2=16\)
\(9a^2+24a+16+a^2=16\)
\(10a^2+24a=0\)
Система имеет решения, если \(\displaystyle a \in \left ( -2\sqrt{2};-\frac{12}{5} \right )\) (дуга DE) или \( a \in \left ( 0; -2\sqrt{2} \right )\) (дуга BC)
Ответ: \(\displaystyle a \in \left ( -2\sqrt{2};-\frac{12}{5} \right ) \cup \left ( 0; -2\sqrt{2} \right )\)
