Эта задача №19 (числа и их свойства) была предложена на ЕГЭ-2024 на Дальнем Востоке, в Санкт-Петербурге и в других регионах.
В порту имеются только заполненные контейнеры, масса каждого из которых равна 20 тонн или 40 тонн. В некоторых контейнерах находится сахарный песок. Количество контейнеров с сахарным песком составляет 40% от общего числа контейнеров.
а) Может ли масса контейнеров с сахарным песком составлять 50% от общей массы?
б) Может ли масса контейнеров с сахарным песком составлять 60% от общей массы?
в) Какую наименьшую долю в процентах может составлять масса контейнеров с сахарным песком от общей массы?
Решение:
Составим таблицу, согласно данным задачи.
| 20 тонн | 40 тонн | |
| всего контейнеров | \(a\) | \(b\) |
| из них с сахаром | \(x\) | \(y\) |
Очевидно, \(x\leq a\), \(y\leq b\).
По условию, количество контейнеров с сахарным песком составляет 40% от общего числа контейнеров.
\(x+y=0,4(a+b)\)
Будем считать массу контейнеров десятками тонн.
Mасса всех контейнеров \(2a+4b\) (десятков тонн). Масса контейнеров с сахаром 2х + 4у (десятков тонн).
а) Да, можно.
Пример:
Пусть всего в порту 2 контейнера по 20 тонн и 3 контейнера по 40 тонн.
Из них с сахаром 2 контейнера по 40 тонн, и это 40% от общего числа контейнеров.
Тогда масса контейнеров с сахаром равна 80 тонн, масса всех контейнеров 40 + 120 = 160 тонн. Все условия выполнены.
Покажем, как подобрали пример.
Составим систему:
\(\left\{\begin{matrix}
x+y=0,4(a+b) \\
2x+4y=0,5(2a+4b)\end{matrix}\right.\);
\(\left\{\begin{matrix}
5(x+y)=2(a+b) \\
2x+4y=a+2b\end{matrix}\right.\);
Заметим, что \((a+b)\vdots 5\)
Умножим первое уравнение на 2, второе на 5, вычтем из второго первое.
Найдем \(y=\frac{a+6b}{10}\); подставим в первое уравнение, получим
\(x=\frac{3a-2b}{10}\).
\(\left\{\begin{matrix}
x=\frac{3a-2b}{10}\geq 0,\\
y=\frac{a+6b}{10}\end{matrix}\right.,\)
\(a\geq \frac{2b}{3}\)
\((a+b)\vdots 5\), значит, \(a+b\geqslant 5\).
Возьмем \(a+b=5\).
Вариант \(a=2\), \(b=3\) подходит, в этом случае \(x=0\), \(y=\frac{2+18}{10}=2\).
Масса всех контейнеров \(2a+4b=4+12=16\);
Масса контейнеров с сахаром \(2y=8\),
Отношение масс равно 0,5.
б) Нет, не может. Предположим, что масса контейнеров с сахаром равна 60% от общей массы. Составим систему уравнений:
\(\left\{\begin{matrix}
x+y=0,4(a+b) \\
2x+4y=0,6(2a+4b)\end{matrix}\right.\)
\(\left\{\begin{matrix}
5(x+y)=2(a+b) \\
5(x+2y)=3(a+2b)\end{matrix}\right.\)
\(\left\{\begin{matrix}
5x+5y=2a+2b \\
5x+10y=3a+6b\end{matrix}\right.\)
Вычтем из второго уравнения первое: \(5y=a+4b\).
Подставим в первое: \(5x+a+4b=2a+2b\);
\(5x=a-2b\); \(x=\frac{a-2b}{5}\geq 0\)
\(\left\{\begin{matrix}
x=\frac{a-2b}{5} \\
y=\frac{a+4b}{5}\end{matrix}\right.\)
Так как по условию \(x\geq 0\) и \(y\leq b\), получим систему:
\(\left\{\begin{matrix}
\frac{a-2b}{5}\geq 0 \\
\frac{a+4b}{5}\leq b\end{matrix}\right.\)
\(\left\{\begin{matrix}
a\geq 2b \\
a+4b\leq 5b\end{matrix}\right.\)
\(\left\{\begin{matrix}
a\geq 2b \\
a\leq b\end{matrix}\right.\) - противоречие. Значит, условие пункта (б) не может выполняться.
в) Будем называть контейнеры по 20 тонн «легкими», а контейнеры по 40 тонн «тяжелыми». По условию, контейнеры с сахаром составляют 40% количества всех контейнеров. Отношение их массы к массе всех контейнеров не меньше, чем в случае, когда сахаром заполнены только «легкие» контейнеры, а «тяжелые» заполнены чем-то другим.
Тогда \(x=a\), \(y=0\).
Найдем, чему равно в этом случае отношение массы контейнеров с сахаром к массе всех контейнеров.
Обозначим р - отношение массы контейнеров с сахаром к общей массе контейнеров.
\(p=\frac{2x+4y}{2a+4b}=\frac{2a}{2a+4b} (1)\)
По условию, \(x+y=0,4(a+b)\); подставим \(x=a\), \(y=0\).
\(a=0,4a+0,4b\);
\(0,6a=0,4b\);
\(b=\frac{3a}{2}\).
Подставим \(b=\frac{3a}{2}\) в уравнение (1).
\(p=\frac{2a}{2a+6a}=0,25.\)
Мы нашли, что отношение массы контейнеров с сахаром к массе всех контейнеров не меньше 25%.
Приведем пример, когда это отношение равно 25%.
Как и в пункте (а), возьмем общее число контейнеров, равное 5.
Если \(a=2\), \(b=3\), то подойдет \(x=2\), \(y=0\).
Всего было 2 контейнера по 20 тонн, 3 контейнера по 40 тонн, из них с сахаром 2 контейнера по 20 тонн.
Масса контейнеров равна с сахаром 40 тонн, масса всех контейнеров \(2\cdot 20+3\cdot 40=160\) тонн, что в 4 раза больше массы контейнеров с сахаром.
Наименьшее отношение масса контейнеров с сахаром к массе всех контейнеров равно 25%.
\(\ast \)
\(\ast \)
\(\ast \)
\(\ast \)
\(\ast \)
\(\ast \)
\(\ast \)
\(\ast \)
\(\ast \)
\(\ast \)
\(\ast \)
\(\ast \)
\(\ast \)
\(\ast \)
\(\ast \)
\(\ast \)
\(\ast \)
\(\ast \)
\(\ast \)
\(\ast \)
