Решение:
Найдем производную функции \(4x^2 - 10x+2 \ln x - 5\) и приравняем ее к нулю.
\(\displaystyle y'(x)=8x-10+\frac{2}{x};\)
\(y'(x) = 0\) при \(\displaystyle x_1 = 1 , \, x_2 = \frac{1}{4}.\)
Найдем знаки производной.
Точка \(x_1 = 1\) – точка минимума функции \(y(x).\) Точка \(\displaystyle x_2 =\frac{1}{4}\) не лежит на отрезке \([0,3;1].\) Поэтому \(y(0,3) \, \textgreater \, y(1)\) и \(y(3) \, \textgreater \, y(1).\) Значит, наименьшее значение функции на отрезке \([0,3;1].\) достигается при \(x=1.\) Найдем это значение.
\(y_{min}(x) = y(1)=4-10-5=-11\)
Ответ: -11.
