Сумма квадратов диагоналей параллелограмма равна сумме квадратов всех его сторон.
Пусть \( AC\) и \(BD\) – диагонали параллелограмма \(ABCD.\)
Докажем, что \(BD^2 + AC^2 = AB^2 +BC^2 +CD^2 +AD^2.\)
Противоположные стороны параллелограмма равны \(\left ( AB=CD, \ BC=AD \right )\), поэтому равенство, которое нужно доказать, можно записать в виде:
\(BD^2+AC^2=2\left ( AB^2+BC^2 \right ).\)
Самый простой способ – воспользоваться теоремой косинусов.
Из треугольника \(ABC: \ AC^2=AB^2+BC^2-2\cdot AB \cdot BC \cdot cos \angle ABC.\)
Из треугольника \(BDC: \ BD^2=CD^2+BC^2-2\cdot CD \cdot BC \cdot cos \angle BCD.\)
Сложим полученные равенства:
\(AC^{2}+BD^{2}=AB^{2}+CD^{2}+2BC^{2}-2\cdot AB\cdot BC\cdot cos\angle ABC-2\cdot CD\cdot BC\cdot cos\angle BCD.\)
\(AB=CD, \ BC=AD\) (по свойству параллелограмма), тогда
\(AC^{2}+BD^{2}=2AB^{2}+2BC^{2}-2\cdot AB\cdot BC\cdot cos\angle ABC-2\cdot AB\cdot BC\cdot cos\angle BCD.\)
\(\angle ABC + \angle BCD = 180 ^{\circ}\) (как односторонние углы при параллельных сторонах \(AB\) и \(CD\)), поэтому \(cos \angle BCD=-cos \angle ABC.\)
\(AC^{2}+BD^{2}=2AB^{2}+2BC^{2}-2\cdot AB\cdot BC\cdot cos\angle ABC+2\cdot AB\cdot BC\cdot cos\angle ABC.\)
\(AC^2+BD^2=2\left ( AB^2+BC^2 \right )\), что и требовалось доказать.
Теорема косинусов помогает найти решение многих задач по планиметрии из вариантов ЕГЭ по математике.
