Сумма квадратов диагоналей параллелограмма равна сумме квадратов всех его сторон.
Пусть AC и BD – диагонали параллелограмма ABCD.
Докажем, что \(BD^2 + AC^2 = AB^2 +BC^2 +CD^2 +AD^2\).
Противоположные стороны параллелограмма равны \(\left ( AB=CD, BC=AD \right )\), поэтому равенство, которое нужно доказать, можно записать в виде:
\(BD^2+AC^2=2\left ( AB^2+BC^2 \right )\).
Самый простой способ – воспользоваться теоремой косинусов.
Из треугольника ABC:
\(AC^2=AB^2+BC^2-2\cdot AB \cdot BC \cdot cos \angle ABC\)
Из треугольника BDC:
\(BD^2=CD^2+BC^2-2\cdot CD \cdot BC \cdot cos \angle BCD\)
Сложим полученные равенства:
AB=CD, BC=AD (по свойству параллелограмма), тогда
\(\angle ABC + \angle BCD = 180 ^{\circ}\) (как односторонние углы при параллельных сторонах AB и CD), поэтому \(cos \angle BCD=-cos \angle ABC\).
\(AC^2+BD^2=2\left ( AB^2+BC^2 \right )\), что и требовалось доказать.
Теорема косинусов помогает найти решение многих задач по планиметрии из вариантов ЕГЭ по математике.
