Сумма квадратов диагоналей параллелограмма

Сумма квадратов диагоналей параллелограмма равна сумме квадратов всех его сторон.

Пусть AC и BD – диагонали параллелограмма ABCD.
Докажем, что $BD^2 + AC^2 = AB^2 +BC^2 +CD^2 +AD^2$ .
Противоположные стороны параллелограмма равны $\left ( AB=CD, BC=AD \right )$ , поэтому равенство, которое нужно доказать, можно записать в виде:
$BD^2+AC^2=2\left ( AB^2+BC^2 \right )$ .

Самый простой способ – воспользоваться теоремой косинусов.
Из треугольника ABC:
$AC^2=AB^2+BC^2-2\cdot AB \cdot BC \cdot cos \angle ABC$

Из треугольника BDC:
$BD^2=CD^2+BC^2-2\cdot CD \cdot BC \cdot cos \angle BCD$

Сложим полученные равенства:

AB=CD, BC=AD (по свойству параллелограмма), тогда

$\angle ABC + \angle BCD = 180 ^{\circ}$ (как односторонние углы при параллельных сторонах AB и CD), поэтому $cos \angle BCD=-cos \angle ABC$ .

$AC^2+BD^2=2\left ( AB^2+BC^2 \right )$ , что и требовалось доказать.

Теорема косинусов помогает найти решение многих задач по планиметрии из вариантов ЕГЭ по математике.

Это полезно