Сумма квадратов диагоналей параллелограмма

Сумма квадратов диагоналей параллелограмма равна сумме квадратов всех его сторон.

Пусть AC и BD – диагонали параллелограмма ABCD.
Докажем, что $BD^2 + AC^2 = AB^2 +BC^2 +CD^2 +AD^2$ .
Противоположные стороны параллелограмма равны $\left ( AB=CD, BC=AD \right )$ , поэтому равенство, которое нужно доказать, можно записать в виде:
$BD^2+AC^2=2\left ( AB^2+BC^2 \right )$ .

Самый простой способ – воспользоваться теоремой косинусов.
Из треугольника ABC:
$AC^2=AB^2+BC^2-2\cdot AB \cdot BC \cdot cos \angle ABC$

Из треугольника BDC:
$BD^2=CD^2+BC^2-2\cdot CD \cdot BC \cdot cos \angle BCD$

Сложим полученные равенства:

AB=CD, BC=AD (по свойству параллелограмма), тогда

$\angle ABC + \angle BCD = 180 ^{\circ}$ (как односторонние углы при параллельных сторонах AB и CD), поэтому $cos \angle BCD=-cos \angle ABC$ .

$AC^2+BD^2=2\left ( AB^2+BC^2 \right )$ , что и требовалось доказать.

Теорема косинусов помогает найти решение многих задач по планиметрии из вариантов ЕГЭ по математике.

Спасибо за то, что пользуйтесь нашими публикациями. Информация на странице «Сумма квадратов диагоналей параллелограмма» подготовлена нашими редакторами специально, чтобы помочь вам в освоении предмета и подготовке к ЕГЭ и ОГЭ. Чтобы успешно сдать нужные и поступить в высшее учебное заведение или техникум нужно использовать все инструменты: учеба, контрольные, олимпиады, онлайн-лекции, видеоуроки, сборники заданий. Также вы можете воспользоваться другими материалами из разделов нашего сайта.

Публикация обновлена: 04.09.2023

Это полезно