Сумма квадратов диагоналей параллелограмма равна сумме квадратов всех его сторон.
Пусть AC и BD – диагонали параллелограмма ABCD.
Докажем, что .
Противоположные стороны параллелограмма равны , поэтому равенство, которое нужно доказать, можно записать в виде:
.
Самый простой способ – воспользоваться теоремой косинусов.
Из треугольника ABC:
Из треугольника BDC:
Сложим полученные равенства:
AB=CD, BC=AD (по свойству параллелограмма), тогда
(как односторонние углы при параллельных сторонах AB и CD), поэтому
.
, что и требовалось доказать.
Теорема косинусов помогает найти решение многих задач по планиметрии из вариантов ЕГЭ по математике.