Биссектриса угла треугольника делит противолежащую сторону в отношении длин прилежащих сторон.
Это важнейшая теорема, о которой можно сказать: в учебнике нет, а на экзамене есть!
Конечно, в учебнике тоже есть. Хорошо спрятанная и никак не выделенная.
Не путать с определением биссектрисы!
Мы помним, что биссектриса – это крыса, которая бегает по углам и делит угол пополам : -)
Теперь серьезно. Биссектриса угла треугольника - это луч, который соединяет вершину треугольника с противоположной стороной, при этом разделяя угол пополам. Это определение биссектрисы.
А вот утверждение о том, что биссектриса угла треугольника делит противолежащую сторону в отношении длин прилежащих сторон, - свойство биссектрисы.
Пусть \(CP\) – биссектриса угла \(BCA\) треугольника \(ABC.\) Покажем, что \(\displaystyle \frac{BC}{AC}=\frac{BP}{AP}.\)
Проведем \(AD\) параллельно \(BC.\)
Углы \(BCP\) и \(ADP\) равны как накрест лежащие. Значит, треугольники \(BPC\) и \(APD\) подобны по двум углам и \(\displaystyle \frac{BC}{AD}=\frac{BP}{AP}.\)
Треугольник \(ACD\) – равнобедренный, так как углы \(ACD\) и \(CDA\) равны. Значит, \(\displaystyle \frac{BC}{AC}=\frac{BP}{AP}.\) Свойство биссектрисы доказано.
