Биссектриса угла треугольника делит противолежащую сторону в отношении длин прилежащих сторон.
Это важнейшая теорема, о которой можно сказать: в учебнике нет, а на экзамене есть!
Конечно, в учебнике тоже есть. Хорошо спрятанная и никак не выделенная.
Не путать с определением биссектрисы!
Мы помним, что биссектриса – это крыса, которая бегает по углам и делит угол пополам : -)
Теперь серьезно. Биссектриса угла треугольника - это луч, который соединяет вершину треугольника с противоположной стороной, при этом разделяя угол пополам. Это определение биссектрисы.
А вот утверждение о том, что биссектриса угла треугольника делит противолежащую сторону в отношении длин прилежащих сторон, - свойство биссектрисы.
Пусть СР – биссектриса угла ВСА треугольника АВС. Покажем, что
\(\frac{BC}{AC}=\frac{BP}{AP}.\)
Проведем АD параллельно ВС.
Углы ВСР и АDP равны как накрест лежащие. Значит, треугольники ВРС и АРD подобны по двум углам и \(\frac{BC}{AD}=\frac{BP}{AP}.\) Треугольник АСD – равнобедренный, так как углы АСD и СDА равны. Значит, \(\frac{BC}{AC}=\frac{BP}{AP}.\) Свойство биссектрисы доказано.
