Свойство высот треугольника

Анна Малкова

Три высоты треугольника пересекаются в одной точке. В случае тупоугольного треугольника пересекаются продолжения высот.

Пусть треугольник АВС – остроугольный.

Проведем в треугольнике АВС высоты ВН и СР. Проведем также прямые, параллельные сторонам треугольника АВС и проходящие через вершины, противоположные этим сторонам.

$m \parallel BC$

$n \parallel AB$

$l \parallel AC$

Заметим, что четырехугольник АВСF – параллелограмм, поскольку его противоположные стороны параллельны. Это значит, что CF = AB.

Точно так же, ABKC – параллелограмм и KC = АВ.

Поскольку АВ и FK параллельны, СР является серединным перпендикуляром к FK. Аналогично, ВН – серединный перпендикуляр к EK, а АМ – серединный перпендикуляр к ЕF. Три серединных перпендикуляра к сторонам треугольника ЕKF пересекаются в точке О. И это значит, что три высоты треугольника АВС пересекаются в точке О.

Для тупоугольного треугольника доказательство аналогично.

Задача ЕГЭ по теме «Высоты треугольника»

В остроугольном треугольнике ABC угол A равен $65 ^{\circ}$ . BD и CE — высоты, пересекающиеся в точке O. Найдите угол DOE. Ответ дайте в градусах.

В треугольниках ACE и OCD угол C – общий, углы E и D равны $90 ^{\circ}$ . Значит, треугольники ACE и OCD подобны, углы CAE и DOC равны, и $\angle DOC = 65 ^{\circ}$ . Тогда угол DOE – смежный с углом DOC. Он равен $180 ^{\circ} - 65 ^{\circ} = 115 ^{\circ}$ .

Благодарим за то, что пользуйтесь нашими публикациями. Информация на странице «Свойство высот треугольника» подготовлена нашими редакторами специально, чтобы помочь вам в освоении предмета и подготовке к экзаменам. Чтобы успешно сдать нужные и поступить в высшее учебное заведение или техникум нужно использовать все инструменты: учеба, контрольные, олимпиады, онлайн-лекции, видеоуроки, сборники заданий. Также вы можете воспользоваться другими материалами из данного раздела.

Публикация обновлена: 05.09.2023

Это полезно