Анна Малкова
Три высоты треугольника пересекаются в одной точке. В случае тупоугольного треугольника пересекаются продолжения высот.
Пусть треугольник АВС – остроугольный.
Проведем в треугольнике АВС высоты ВН и СР. Проведем также прямые, параллельные сторонам треугольника АВС и проходящие через вершины, противоположные этим сторонам.
Заметим, что четырехугольник АВСF – параллелограмм, поскольку его противоположные стороны параллельны. Это значит, что CF = AB.
Точно так же, ABKC – параллелограмм и KC = АВ.
Поскольку АВ и FK параллельны, СР является серединным перпендикуляром к FK. Аналогично, ВН – серединный перпендикуляр к EK, а АМ – серединный перпендикуляр к ЕF. Три серединных перпендикуляра к сторонам треугольника ЕKF пересекаются в точке О. И это значит, что три высоты треугольника АВС пересекаются в точке О.
Для тупоугольного треугольника доказательство аналогично.
Задача ЕГЭ по теме «Высоты треугольника»
В остроугольном треугольнике ABC угол A равен . BD и CE — высоты, пересекающиеся в точке O. Найдите угол DOE. Ответ дайте в градусах.
В треугольниках ACE и OCD угол C – общий, углы E и D равны
. Значит, треугольники ACE и OCD подобны, углы CAE и DOC равны, и
. Тогда угол DOE – смежный с углом DOC. Он равен
.
Благодарим за то, что пользуйтесь нашими публикациями. Информация на странице «Свойство высот треугольника» подготовлена нашими редакторами специально, чтобы помочь вам в освоении предмета и подготовке к экзаменам. Чтобы успешно сдать нужные и поступить в высшее учебное заведение или техникум нужно использовать все инструменты: учеба, контрольные, олимпиады, онлайн-лекции, видеоуроки, сборники заданий. Также вы можете воспользоваться другими материалами из данного раздела.
Публикация обновлена: 05.09.2023