Угол между касательной и хордой

Угол между касательной и хордой, проведенной через точку касания, равен половине угловой величины дуги, заключенной между ними.

Касательная перпендикулярна радиусу, проведенному в точку касания.

Пусть $\angle MCA=\varphi$ . Тогда $\angle OCA = 90 ^{\circ}-\varphi$ . Треугольник ОСА – равнобедренный, ОА = ОС (как радиусы окружности). Значит, $\angle AOC= 180 ^{\circ}-2\left ( 90 ^{\circ} - \varphi \right )=2\varphi$ , что и требовалось доказать.

Заметим, что $\angle ABC = \varphi$ – как вписанный, опирающийся на ту же дугу.

Задача ЕГЭ по теме «Угол между касательной и хордой»

Угол между хордой AB и касательной BC к окружности равен $32 ^{\circ}$ . Найдите величину меньшей дуги, стягиваемой хордой AB. Ответ дайте в градусах.

Касательная ВС перпендикулярна радиусу ОВ, проведенному в точку касания. Значит, угол ОВС равен 90°, и тогда угол ОВА равен $90 ^{\circ} - 32 ^{\circ} = 58 ^{\circ}$ . Угол ОАВ также равен 58°, так как треугольник ОАВ – равнобедренный, его стороны ОА и ОВ равны радиусу окружности. Тогда третий угол этого треугольника, то есть угол АОВ, равен $180 ^{\circ} - 58 ^{\circ} \cdot 2 = 64 ^{\circ}$ .

Центральный угол равен угловой величине дуги, на которую он опирается, и тогда дуга АВ равна $64 ^{\circ}$ .

Эту задачу можно решить быстрее, зная теорему об угле между касательной и хордой.
Угол между касательной и хордой, проведенной через точку касания, - это угол АВС. Он равен половине угловой величины дуги, заключенной между касательной ВС и хордой АВ, то есть дуги АВ. Значит, дуга АВ равна $64 ^{\circ}$ .

Ответ: 64.

Благодарим за то, что пользуйтесь нашими материалами. Информация на странице «Угол между касательной и хордой» подготовлена нашими авторами специально, чтобы помочь вам в освоении предмета и подготовке к ЕГЭ и ОГЭ. Чтобы успешно сдать нужные и поступить в ВУЗ или техникум нужно использовать все инструменты: учеба, контрольные, олимпиады, онлайн-лекции, видеоуроки, сборники заданий. Также вы можете воспользоваться другими статьями из данного раздела.

Публикация обновлена: 04.09.2023

Это полезно