Анна Малкова
Замечательное свойство трапеции. Точка пересечения диагоналей трапеции, точка пересечения продолжений ее боковых сторон и середины оснований лежат на одной линии.
Дана трапеция ABCD, , N - середина AD, M - середина BC,
. Докажем, что точки M, N, O, P лежат на одной прямой.
Задача не так уж и проста, да и сама формулировка необычна: доказать, что четыре точки лежат на одной прямой. Как это сделать?
Во-первых, разобьем задачу на две более простых. Во-вторых – немного переформулируем.
1) Докажем, что середина основания AD лежит на прямой, соединяющей середину основания BC и точку пересечения диагоналей.
2) Докажем, что середина основания AD лежит на прямой, соединяющей середину основания BC и точку пересечения продолжений боковых сторон.
Начнем с пункта 1.
Пусть M - середина BC, O – точка пересечения диагоналей трапеции, .
Докажем, что N – середина AD.
по двум углам (
как вертикальные,
как накрест лежащие при параллельных основаниях трапеции), тогда
.
Аналогично, (
как вертикальные,
как накрест лежащие при параллельных основаниях трапеция), отсюда
.
Отсюда . Это значит, что N – середина AD.
Теперь пункт 2.
Проведем PM – медиану треугольника BPC. Пусть прямые AD и PM пересекаются в точке N. Докажем, что N – середина AD
по двум углам (угол P – общий,
как соответственные при параллельных основаниях трапеции), отсюда
.
аналогично,
.
Получим: , значит, N – середина AD.
Таким образом, точки M,O,N,P лежат на одной прямой, что и требовалось доказать.
Спасибо за то, что пользуйтесь нашими публикациями. Информация на странице «Замечательное свойство трапеции» подготовлена нашими редакторами специально, чтобы помочь вам в освоении предмета и подготовке к экзаменам. Чтобы успешно сдать необходимые и поступить в высшее учебное заведение или колледж нужно использовать все инструменты: учеба, контрольные, олимпиады, онлайн-лекции, видеоуроки, сборники заданий. Также вы можете воспользоваться другими статьями из разделов нашего сайта.
Публикация обновлена: 05.09.2023