Анна Малкова
Замечательное свойство трапеции. Точка пересечения диагоналей трапеции, точка пересечения продолжений ее боковых сторон и середины оснований лежат на одной линии.
Дана трапеция \(ABCD, \ AC\cap BD=O, \ N\) - середина \(AD, \ M\) - середина \(BC, \ AB\cap CD=P.\) Докажем, что точки \(M, \ N, \ O, \ P\) лежат на одной прямой.
Задача не так уж и проста, да и сама формулировка необычна: доказать, что четыре точки лежат на одной прямой. Как это сделать?
Во-первых, разобьем задачу на две более простых. Во-вторых – немного переформулируем.
1) Докажем, что середина основания \(AD\) лежит на прямой, соединяющей середину основания \(BC\) и точку пересечения диагоналей.
2) Докажем, что середина основания \(AD\) лежит на прямой, соединяющей середину основания \(BC\) и точку пересечения продолжений боковых сторон.
Начнем с пункта 1.
Пусть \(M\) - середина \(BC, \ O\) – точка пересечения диагоналей трапеции, \(MO\cap AD=N.\)
Докажем, что \(N\) – середина \(AD.\)
\(\triangle BOC \sim \triangle DOA\) по двум углам (\(\angle BOC= \angle AOD\) как вертикальные, \(\angle OBC= \angle ODA\) как накрест лежащие при параллельных основаниях трапеции), тогда \(\displaystyle \frac{BO}{OD}=\frac{BC}{AD}.\)
Аналогично, \(\triangle BOM \sim \triangle DON\) (\(\angle BOM= \angle NOD\) как вертикальные, \(\angle MBO= \angle ODN\) как накрест лежащие при параллельных основаниях трапеция), отсюда \(\displaystyle \frac{BO}{OD}=\frac{BM}{ND}.\)
Отсюда \(\displaystyle \frac{BC}{AD}=\frac{BM}{ND}\Rightarrow \frac{BM}{BC} = \frac{ND}{AD}=\frac{1}{2}.\) Это значит, что \(N\) – середина \(AD.\)
Теперь пункт 2.
Проведем \(PM\) – медиану треугольника \(BPC.\) Пусть прямые \(AD\) и \(PM\) пересекаются в точке \(N.\) Докажем, что \(N\) – середина \(AD.\)
\(\triangle BPC \sim \triangle APD\) по двум углам (угол \(P\) – общий, \(\angle PBC = \angle PAD\) как соответственные при параллельных основаниях трапеции), отсюда \(\displaystyle \frac{BP}{AP}=\frac{BC}{AD}.\)
\(\triangle BPM \sim \triangle APN\) аналогично, \(\displaystyle \frac{BP}{AP}=\frac{BM}{AN}.\)
Получим: \(\displaystyle \frac{BC}{AD}=\frac{BM}{AN}\Rightarrow \frac{AN}{AD}=\frac{BM}{BC}=\frac{1}{2}\), значит, \(N\) – середина \(AD.\)
Таким образом, точки \(M, \ O, \ N, \ P\) лежат на одной прямой, что и требовалось доказать.
