Замечательное свойство трапеции

Анна Малкова

Замечательное свойство трапеции. Точка пересечения диагоналей трапеции, точка пересечения продолжений ее боковых сторон и середины оснований лежат на одной линии.

Дана трапеция ABCD, $AC\cap BD=O$ , N - середина AD, M - середина BC, $AB\cap CD=P$ . Докажем, что точки M, N, O, P лежат на одной прямой.

Задача не так уж и проста, да и сама формулировка необычна: доказать, что четыре точки лежат на одной прямой. Как это сделать?

Во-первых, разобьем задачу на две более простых. Во-вторых – немного переформулируем.

1) Докажем, что середина основания AD лежит на прямой, соединяющей середину основания BC и точку пересечения диагоналей.

2) Докажем, что середина основания AD лежит на прямой, соединяющей середину основания BC и точку пересечения продолжений боковых сторон.

Начнем с пункта 1.

Пусть M - середина BC, O – точка пересечения диагоналей трапеции, $MO\cap AD=N$ .

Докажем, что N – середина AD.

$\triangle BOC \sim \triangle DOA$ по двум углам ( $\angle BOC= \angle AOD$ как вертикальные, $\angle OBC= \angle ODA$ как накрест лежащие при параллельных основаниях трапеции), тогда $\frac{BO}{OD}=\frac{BC}{AD}$ .

Аналогично, $\triangle BOM \sim \triangle DON$ ( $\angle BOM= \angle NOD$ как вертикальные, $\angle MBO= \angle ODN$ как накрест лежащие при параллельных основаниях трапеция), отсюда $\frac{BO}{OD}=\frac{BM}{ND}$ .

Отсюда $\frac{BC}{AD}=\frac{BM}{ND}\Rightarrow \frac{BM}{BC} = \frac{ND}{AD}=\frac{1}{2}$ . Это значит, что N – середина AD.

Теперь пункт 2.

Проведем PM – медиану треугольника BPC. Пусть прямые AD и PM пересекаются в точке N. Докажем, что N – середина AD

$\triangle BPC \sim \triangle APD$ по двум углам (угол P – общий, $\angle PBC = \angle PAD$ как соответственные при параллельных основаниях трапеции), отсюда $\frac{BP}{AP}=\frac{BC}{AD}$ .

$\triangle BPM \sim \triangle APN$ аналогично, $\frac{BP}{AP}=\frac{BM}{AN}$ .

Получим: $\frac{BC}{AD}=\frac{BM}{AN}\Rightarrow \frac{AN}{AD}=\frac{BM}{BC}=\frac{1}{2}$ , значит, N – середина AD.

Таким образом, точки M,O,N,P лежат на одной прямой, что и требовалось доказать.

Благодарим за то, что пользуйтесь нашими статьями. Информация на странице «Замечательное свойство трапеции» подготовлена нашими редакторами специально, чтобы помочь вам в освоении предмета и подготовке к экзаменам. Чтобы успешно сдать необходимые и поступить в высшее учебное заведение или техникум нужно использовать все инструменты: учеба, контрольные, олимпиады, онлайн-лекции, видеоуроки, сборники заданий. Также вы можете воспользоваться другими статьями из разделов нашего сайта.

Публикация обновлена: 09.03.2023

Это полезно