previous arrow
next arrow
Slider

Метод объемов в задачах по стереометрии

 

Метод объемов применяется, когда мы хотим найти расстояние от точки до плоскости.

Или расстояние между двумя скрещивающимися прямыми. Или расстояние между двумя параллельными плоскостями.

Метод объемов состоит в том, чтобы, записав двумя разными способами объем какой-либо треугольной пирамиды и приравняв эти выражения, найти нужную нам величину.

Вот как он применяется в задачах ЕГЭ:

9. В правильной треугольной призме ABCA_{1}B_{1}C_{1} сторона AB основания равна 12, а высота призмы равна 2. На рёбрах B_{1}C_{1} и AB отмечены точки P и Q соответственно, причём PC_{1}=3, а AQ=4. Плоскость A_{1}PQ пересекает ребро BC в точке M.

а) Докажите, что точка M является серединой ребра BC.

б) Найдите расстояние от точки B до плоскости A_{1}PQ.

Построим сечение призмы плоскостью A_1PQ.

Проведём QM \parallel {A}_1P в плоскости ABC, точка M лежит на ребре BC.

Мы пользуемся здесь тем, что линии пересечения параллельных плоскостей третьей плоскостью параллельны. Трапеция QMPA_{1} — искомое сечение.

а) Покажем, что M — середина BC.

Пусть P_1 — проекция точки P на плоскость ABC,P_1C=3.Тогда AP_1 \parallel A_1P

Пусть BM = x, \triangle QBM\sim \triangle { }A{BP}_1 (по двум углам)

\frac{BQ}{AB}=\frac{BM}{{BP}_1};

\frac{8}{12}=\frac{x}{9}

Отсюда x = 6 и M — середина BC.

б) Найдем расстояние от точки B до плоскости A_1PQ, пользуясь методом объемов.

Выразим двумя способами объем треугольной пирамиды A_1QMB. V_{A_1QMB}=\frac{1}{3}S_{\triangle { QMB}}\cdot h_1=\frac{1}{3}S_{\triangle { }A_1{ QM}}\cdot h_2{, } где h_1 — расстояние от точки A_{1} до плоскости QMB, то есть до плоскости основания призмы.

Оно равно высоте призмы, то есть h_1=2.

h_2 — искомое расстояние от точки B до плоскости A_1{ QM.}

S_{\triangle { QMB}}=\frac{1}{2}\cdot BQ\cdot BM\cdot sin60^\circ =\frac{1}{2}\cdot 8\cdot 6\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=12\sqrt{3;}

Из \triangle { }QMB по теореме косинусов:

{QM}^2={BQ}^2+{BM}^2-2BQ\cdot BM\cdot cos60^\circ,

{QM}^2=64+36-2\cdot 8\cdot 6\cdot \frac{1}{2}=100-38=52;

QM=\sqrt{52}=2\sqrt{13};

Из \triangle { }AA_1Q:

A_1Q=\sqrt{{AQ}^2+{AA_1}^2}=\sqrt{16+4}=2\sqrt{5}.

Точка M — середина BC, AM=\frac{12\sqrt{3}}{2}=6\sqrt{3}.

Из прямоугольного треугольника{{ A}}_{{ 1}}AM найдем A_1M = 4\sqrt{7}.

Рассмотрим треугольник A_1QM, в котором мы знаем все стороны.

По теореме косинусов:

A_1Q^2=A_1M^2+QM^2-2QM\cdot A_1M\cdot cos\angle A_1MQ,

20= 112+52 - 2\cdot 8\cdot \sqrt{7}\cdot \sqrt{13}\cdot cos\angle A_1MQ;

cos\angle A_1MQ=\frac{9}{\sqrt{91}}

Тогда sin\angle A_1MQ=\sqrt{\frac{10}{91}}

S_{\triangle { }A_1QM}=\frac{1}{2}QM\cdot A_1M\cdot sin\angle A_1MQ=

=\frac{1}{2}\cdot 2\sqrt{13}\cdot 4\sqrt{7}\cdot \sqrt{\frac{10}{91}}=4\sqrt{10};

Объем пирамиды A_1QBMV_{{ }A_1QBM}=\frac{1}{3}S_{\triangle { }QBM}\cdot AA_1=\frac{1}{3}S_{{ }A_1QM}\cdot h_2,

Отсюда

h_2=\frac{S_{\triangle { }QBM}\cdot { A}A_1}{S_{{ }A_1QM}}=\frac{12\sqrt{3}\cdot 2}{4\sqrt{10}}=\frac{3\sqrt{30}}{5}.