Метод объемов в задачах по стереометрии

Метод объемов применяется, когда мы хотим найти расстояние от точки до плоскости.

Или расстояние между двумя скрещивающимися прямыми. Или расстояние между двумя параллельными плоскостями.

Метод объемов состоит в том, чтобы, записав двумя разными способами объем какой-либо треугольной пирамиды и приравняв эти выражения, найти нужную нам величину.

Вот как он применяется в задачах ЕГЭ:

9. В правильной треугольной призме $ABCA_{1}B_{1}C_{1}$ сторона AB основания равна 12, а высота призмы равна 2. На рёбрах $B_{1}C_{1}$ и AB отмечены точки P и Q соответственно, причём $PC_{1}=3$ , а AQ=4. Плоскость $A_{1}PQ$ пересекает ребро BC в точке M.

а) Докажите, что точка M является серединой ребра BC.

б) Найдите расстояние от точки B до плоскости $A_{1}PQ.$

Построим сечение призмы плоскостью $A_1PQ.$

Проведём $QM \parallel {A}_1P$ в плоскости ABC, точка M лежит на ребре BC.

Мы пользуемся здесь тем, что линии пересечения параллельных плоскостей третьей плоскостью параллельны. Трапеция $QMPA_{1}$ — искомое сечение.

а) Покажем, что M — середина BC.

Пусть $P_1$ — проекция точки P на плоскость ABC, $P_1C=3.$ Тогда $AP_1 \parallel A_1P$

Пусть $BM = x, \triangle QBM\sim \triangle { }A{BP}_1$ (по двум углам)

$\frac{BQ}{AB}=\frac{BM}{{BP}_1};$

$\frac{8}{12}=\frac{x}{9}$

Отсюда x = 6 и M — середина BC.

б) Найдем расстояние от точки B до плоскости $A_1PQ,$ пользуясь методом объемов.

Выразим двумя способами объем треугольной пирамиды $A_1QMB.$ $V_{A_1QMB}=\frac{1}{3}S_{\triangle { QMB}}\cdot h_1=\frac{1}{3}S_{\triangle { }A_1{ QM}}\cdot h_2{, }$ где $h_1$ — расстояние от точки $A_{1}$ до плоскости QMB, то есть до плоскости основания призмы.