Метод объемов применяется, когда мы хотим найти расстояние от точки до плоскости.
Или расстояние между двумя скрещивающимися прямыми. Или расстояние между двумя параллельными плоскостями.
Метод объемов состоит в том, чтобы, записав двумя разными способами объем какой-либо треугольной пирамиды и приравняв эти выражения, найти нужную нам величину.
Вот как он применяется в задачах ЕГЭ:
9. В правильной треугольной призме сторона AB основания равна 12, а высота призмы равна 2. На рёбрах
и AB отмечены точки P и Q соответственно, причём
, а AQ=4. Плоскость
пересекает ребро BC в точке M.
а) Докажите, что точка M является серединой ребра BC.
б) Найдите расстояние от точки B до плоскости
Построим сечение призмы плоскостью
Проведём в плоскости ABC, точка M лежит на ребре BC.
Мы пользуемся здесь тем, что линии пересечения параллельных плоскостей третьей плоскостью параллельны. Трапеция — искомое сечение.
а) Покажем, что M — середина BC.
Пусть — проекция точки P на плоскость ABC,
Тогда
Пусть (по двум углам)
Отсюда x = 6 и M — середина BC.
б) Найдем расстояние от точки B до плоскости пользуясь методом объемов.
Выразим двумя способами объем треугольной пирамиды
где
— расстояние от точки
до плоскости QMB, то есть до плоскости основания призмы.
Оно равно высоте призмы, то есть
— искомое расстояние от точки B до плоскости
Из по теореме косинусов:
Из
Точка M — середина BC,
Из прямоугольного треугольника найдем
Рассмотрим треугольник , в котором мы знаем все стороны.
По теореме косинусов:
Тогда
Объем пирамиды
Отсюда
Спасибо за то, что пользуйтесь нашими материалами. Информация на странице «Метод объемов в задачах по стереометрии» подготовлена нашими авторами специально, чтобы помочь вам в освоении предмета и подготовке к экзаменам. Чтобы успешно сдать необходимые и поступить в ВУЗ или колледж нужно использовать все инструменты: учеба, контрольные, олимпиады, онлайн-лекции, видеоуроки, сборники заданий. Также вы можете воспользоваться другими статьями из данного раздела.
Публикация обновлена: 08.05.2023