Метод объемов в задачах по стереометрии

Метод объемов применяется, когда мы хотим найти расстояние от точки до плоскости.

Или расстояние между двумя скрещивающимися прямыми. Или расстояние между двумя параллельными плоскостями.

Метод объемов состоит в том, чтобы, записав двумя разными способами объем какой-либо треугольной пирамиды и приравняв эти выражения, найти нужную нам величину.

Вот как он применяется в задачах ЕГЭ:

9. В правильной треугольной призме $ABCA_{1}B_{1}C_{1}$ сторона AB основания равна 12, а высота призмы равна 2. На рёбрах $B_{1}C_{1}$ и AB отмечены точки P и Q соответственно, причём $PC_{1}=3$ , а AQ=4. Плоскость $A_{1}PQ$ пересекает ребро BC в точке M.

а) Докажите, что точка M является серединой ребра BC.

б) Найдите расстояние от точки B до плоскости $A_{1}PQ.$

Построим сечение призмы плоскостью $A_1PQ.$

Проведём $QM \parallel {A}_1P$ в плоскости ABC, точка M лежит на ребре BC.

Мы пользуемся здесь тем, что линии пересечения параллельных плоскостей третьей плоскостью параллельны. Трапеция $QMPA_{1}$ — искомое сечение.

а) Покажем, что M — середина BC.

Пусть $P_1$ — проекция точки P на плоскость ABC, $P_1C=3.$ Тогда $AP_1 \parallel A_1P$

Пусть $BM = x, \triangle QBM\sim \triangle { }A{BP}_1$ (по двум углам)

$\frac{BQ}{AB}=\frac{BM}{{BP}_1};$

$\frac{8}{12}=\frac{x}{9}$

Отсюда x = 6 и M — середина BC.

б) Найдем расстояние от точки B до плоскости $A_1PQ,$ пользуясь методом объемов.

Выразим двумя способами объем треугольной пирамиды $A_1QMB.$ $V_{A_1QMB}=\frac{1}{3}S_{\triangle { QMB}}\cdot h_1=\frac{1}{3}S_{\triangle { }A_1{ QM}}\cdot h_2{, }$ где $h_1$ — расстояние от точки $A_{1}$ до плоскости QMB, то есть до плоскости основания призмы.

Оно равно высоте призмы, то есть $h_1=2.$

$h_2$ — искомое расстояние от точки B до плоскости $A_1{ QM.}$

$S_{\triangle { QMB}}=\frac{1}{2}\cdot BQ\cdot BM\cdot sin60^\circ =\frac{1}{2}\cdot 8\cdot 6\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=12\sqrt{3;}$

Из $\triangle { }QMB$ по теореме косинусов:

${QM}^2={BQ}^2+{BM}^2-2BQ\cdot BM\cdot cos60^\circ,$

${QM}^2=64+36-2\cdot 8\cdot 6\cdot \frac{1}{2}=100-38=52;$

$QM=\sqrt{52}=2\sqrt{13};$

Из $\triangle { }AA_1Q:$

$A_1Q=\sqrt{{AQ}^2+{AA_1}^2}=\sqrt{16+4}=2\sqrt{5}.$

Точка M — середина BC, $AM=\frac{12\sqrt{3}}{2}=6\sqrt{3}.$

Из прямоугольного треугольника ${{ A}}_{{ 1}}AM$ найдем $A_1M = 4\sqrt{7}.$

Рассмотрим треугольник $A_1QM$ , в котором мы знаем все стороны.

По теореме косинусов:

$A_1Q^2=A_1M^2+QM^2-2QM\cdot A_1M\cdot cos\angle A_1MQ,$

$20= 112+52 - 2\cdot 8\cdot \sqrt{7}\cdot \sqrt{13}\cdot cos\angle A_1MQ;$

$cos\angle A_1MQ=\frac{9}{\sqrt{91}}$

Тогда $sin\angle A_1MQ=\sqrt{\frac{10}{91}}$

$S_{\triangle { }A_1QM}=\frac{1}{2}QM\cdot A_1M\cdot sin\angle A_1MQ=$

$=\frac{1}{2}\cdot 2\sqrt{13}\cdot 4\sqrt{7}\cdot \sqrt{\frac{10}{91}}=4\sqrt{10};$

Объем пирамиды $A_1QBMV_{{ }A_1QBM}=\frac{1}{3}S_{\triangle { }QBM}\cdot AA_1=\frac{1}{3}S_{{ }A_1QM}\cdot h_2,$

Отсюда

$h_2=\frac{S_{\triangle { }QBM}\cdot { A}A_1}{S_{{ }A_1QM}}=\frac{12\sqrt{3}\cdot 2}{4\sqrt{10}}=\frac{3\sqrt{30}}{5}.$

Интенсивная подготовка

Бесплатные пробные ЕГЭ

Расписание курсов

Звоните нам: 8 (800) 775-06-82 (бесплатный звонок по России)
+7 (495) 984-09-27 (бесплатный звонок по Москве)

Или нажмите на кнопку «Узнать больше», чтобы заполнить контактную форму. Мы обязательно Вам перезвоним.

Узнать больше

Премиум

Вся часть 2 на ЕГЭ по математике, от задачи 13 до задачи 19. То, о чем не рассказывают даже ваши репетиторы. Все приемы решения задач части 2. Оформление задач на экзамене. Десятки реальных задач ЕГЭ, от простых до самых сложных.

Видеокурс «Премиум» состоит из 7 курсов для освоения части 2 ЕГЭ по математике (задачи 13-19). Длительность каждого курса - от 3,5 до 4,5 часов.

Уравнения (задача 13)

Стереометрия (задача 14)

Неравенства (задача 15)

Геометрия (задача 16)

Финансовая математика (задача 17)

Параметры (задача 18)

Нестандартная задача на числа и их свойства (задача 19).

Здесь то, чего нет в учебниках. Чего вам не расскажут в школе. Приемы, методы и секреты решения задач части 2.

Каждая тема разобрана с нуля. Десятки специально подобранных задач, каждая из которых помогает понять «подводные камни» и хитрости решения. Автор видеокурса Премиум - репетитор-профессионал Анна Малкова.

Получи пятерку

Видеокурс «Получи пятерку» включает все темы, необходимые для успешной сдачи ЕГЭ по математике на 60-65 баллов. Полностью все задачи 1-13 Профильного ЕГЭ по математике. Подходит также для сдачи Базового ЕГЭ по математике. Если вы хотите сдать ЕГЭ на 90-100 баллов, вам надо решать часть 1 за 30 минут и без ошибок!

Курс подготовки к ЕГЭ для 10-11 класса, а также для преподавателей. Все необходимое, чтобы решить часть 1 ЕГЭ по математике (первые 12 задач) и задачу 13 (тригонометрия). А это более 70 баллов на ЕГЭ, и без них не обойтись ни стобалльнику, ни гуманитарию.

Вся необходимая теория. Быстрые способы решения, ловушки и секреты ЕГЭ. Разобраны все актуальные задания части 1 из Банка заданий ФИПИ. Курс полностью соответствует требованиям ЕГЭ-2018.

Курс содержит 5 больших тем, по 2,5 часа каждая. Каждая тема дается с нуля, просто и понятно.

Сотни заданий ЕГЭ. Текстовые задачи и теория вероятностей. Простые и легко запоминаемые алгоритмы решения задач. Геометрия. Теория, справочный материал, разбор всех типов заданий ЕГЭ. Стереометрия. Хитрые приемы решения, полезные шпаргалки, развитие пространственного воображения. Тригонометрия с нуля - до задачи 13. Понимание вместо зубрежки. Наглядное объяснение сложных понятий. Алгебра. Корни, степени и логарифмы, функция и производная. База для решения сложных задач 2 части ЕГЭ.

Сразу после оплаты вы получите ссылки на скачивание видеокурсов и уникальные ключи к ним.

Как пользоваться?

Не надо сразу просматривать задачи (и решения) всех вариантов. Такое читерство вам только помешает. Берите по одному! Задачи решайте по однойи старайтесь довести до ответа.

Если почти ничего не получилось – начинать надо не с решения вариантов, а с изучения математики. Вам помогут книга для подготовки к ЕГЭи Годовой Онлайн-курс.

Если вы правильно решили из первого варианта Маттренингов 5-7 задач – значит, знаний не хватает. Смотри пункт 1: Книгаи Годовой Онлайн-курс!

Обязательно разберите правильные решения. Посмотрите видеоразбор – в нем тоже много полезного.

Можно решать самостоятельно или вместе с друзьями. Или всем классом. А потом смотреть видеоразбор варианта.

Стоимость комплекта «Математические тренинги – 2019» - всего 1100 рублей. За 5 вариантов с решениями и видеоразбором каждого.