Метод объемов в задачах по стереометрии

Метод объемов применяется, когда мы хотим найти расстояние от точки до плоскости.

Или расстояние между двумя скрещивающимися прямыми. Или расстояние между двумя параллельными плоскостями.

Метод объемов состоит в том, чтобы, записав двумя разными способами объем какой-либо треугольной пирамиды и приравняв эти выражения, найти нужную нам величину.

Вот как он применяется в задачах ЕГЭ:

9. В правильной треугольной призме $ABCA_{1}B_{1}C_{1}$ сторона AB основания равна 12, а высота призмы равна 2. На рёбрах $B_{1}C_{1}$ и AB отмечены точки P и Q соответственно, причём $PC_{1}=3$ , а AQ=4. Плоскость $A_{1}PQ$ пересекает ребро BC в точке M.

а) Докажите, что точка M является серединой ребра BC.

б) Найдите расстояние от точки B до плоскости $A_{1}PQ.$

Построим сечение призмы плоскостью $A_1PQ.$

Проведём $QM \parallel {A}_1P$ в плоскости ABC, точка M лежит на ребре BC.

Мы пользуемся здесь тем, что линии пересечения параллельных плоскостей третьей плоскостью параллельны. Трапеция $QMPA_{1}$ — искомое сечение.

а) Покажем, что M — середина BC.

Пусть $P_1$ — проекция точки P на плоскость ABC, $P_1C=3.$ Тогда $AP_1 \parallel A_1P$

Пусть $BM = x, \triangle QBM\sim \triangle { }A{BP}_1$ (по двум углам)

$\frac{BQ}{AB}=\frac{BM}{{BP}_1};$

$\frac{8}{12}=\frac{x}{9}$

Отсюда x = 6 и M — середина BC.

б) Найдем расстояние от точки B до плоскости $A_1PQ,$ пользуясь методом объемов.

Выразим двумя способами объем треугольной пирамиды $A_1QMB.$ $V_{A_1QMB}=\frac{1}{3}S_{\triangle { QMB}}\cdot h_1=\frac{1}{3}S_{\triangle { }A_1{ QM}}\cdot h_2{, }$ где $h_1$ — расстояние от точки $A_{1}$ до плоскости QMB, то есть до плоскости основания призмы.

Оно равно высоте призмы, то есть $h_1=2.$

$h_2$ — искомое расстояние от точки B до плоскости $A_1{ QM.}$

$S_{\triangle { QMB}}=\frac{1}{2}\cdot BQ\cdot BM\cdot sin60^\circ =\frac{1}{2}\cdot 8\cdot 6\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=12\sqrt{3;}$

Из $\triangle { }QMB$ по теореме косинусов:

${QM}^2={BQ}^2+{BM}^2-2BQ\cdot BM\cdot cos60^\circ,$

${QM}^2=64+36-2\cdot 8\cdot 6\cdot \frac{1}{2}=100-38=52;$

$QM=\sqrt{52}=2\sqrt{13};$

Из $\triangle { }AA_1Q:$

$A_1Q=\sqrt{{AQ}^2+{AA_1}^2}=\sqrt{16+4}=2\sqrt{5}.$

Точка M — середина BC, $AM=\frac{12\sqrt{3}}{2}=6\sqrt{3}.$

Из прямоугольного треугольника ${{ A}}_{{ 1}}AM$ найдем $A_1M = 4\sqrt{7}.$

Рассмотрим треугольник $A_1QM$ , в котором мы знаем все стороны.

По теореме косинусов:

$A_1Q^2=A_1M^2+QM^2-2QM\cdot A_1M\cdot cos\angle A_1MQ,$

$20= 112+52 - 2\cdot 8\cdot \sqrt{7}\cdot \sqrt{13}\cdot cos\angle A_1MQ;$

$cos\angle A_1MQ=\frac{9}{\sqrt{91}}$

Тогда $sin\angle A_1MQ=\sqrt{\frac{10}{91}}$

$S_{\triangle { }A_1QM}=\frac{1}{2}QM\cdot A_1M\cdot sin\angle A_1MQ=$

$=\frac{1}{2}\cdot 2\sqrt{13}\cdot 4\sqrt{7}\cdot \sqrt{\frac{10}{91}}=4\sqrt{10};$

Объем пирамиды $A_1QBMV_{{ }A_1QBM}=\frac{1}{3}S_{\triangle { }QBM}\cdot AA_1=\frac{1}{3}S_{{ }A_1QM}\cdot h_2,$

Отсюда

$h_2=\frac{S_{\triangle { }QBM}\cdot { A}A_1}{S_{{ }A_1QM}}=\frac{12\sqrt{3}\cdot 2}{4\sqrt{10}}=\frac{3\sqrt{30}}{5}.$

Спасибо за то, что пользуйтесь нашими материалами. Информация на странице «Метод объемов в задачах по стереометрии» подготовлена нашими авторами специально, чтобы помочь вам в освоении предмета и подготовке к экзаменам. Чтобы успешно сдать необходимые и поступить в ВУЗ или колледж нужно использовать все инструменты: учеба, контрольные, олимпиады, онлайн-лекции, видеоуроки, сборники заданий. Также вы можете воспользоваться другими статьями из данного раздела.

Публикация обновлена: 08.05.2023

Это полезно