«Оценка плюс пример» — это специальное математическое рассуждение, которое применяется в некоторых задачах при нахождении наибольших или наименьших значений.
Предположим, что мы ищем наименьшее значение некоторой величины \(A\). Действуем в два этапа.
1) Оценка. Показываем, что выполнено неравенство \(A \geq \alpha .\)
2) Пример. Предъявляем пример, когда достигается равенство \(A = \alpha .\)
Первая задача - моя авторская. Я специально составила ее, чтобы показать, как работает метод «Оценка плюс пример».
1. На доске написано \(3\) различных натуральных числа. К каждому из них приписали справа одну и ту же цифру, при этом сумма чисел увеличилась в \(m\) раз.
а) Может ли \(m\) быть равно \(13\)?
б) Может ли \(m\) быть равно \(16\)?
в) Найдите наибольшее возможное натуральное \(m\).
Решение:
Пусть на доске были написаны числа \(a, \; b, \; c,\) их сумма равна \(a+b+c.\)
К каждому из чисел приписали цифру \(k,\) получили \(10a+k, \; 10b+k, \; 10c+k,\) сумма полученных чисел равна \(10(a+b+c)+3k.\)
Получили: \(10(a+b+c)+3k=m(a+b+c);\)
\((m-10)(a+b+c)=3k.\)
а) Да, может.
Пусть \(m=13\), тогда \((13-10)(a+b+c)=3k;\)
\(3(a+b+c)=3k;\)
\(a+b+c=k.\)
Так как числа \(a, \; b, \; c\) различны, \(a+b+c\geq 6. \)
Пусть \(a+b+c=7=k;\)
\(a=1, \; b=2, \; c=4.\)
Числа \(1, \; 2, \; 4,\) сумма \(7.\)
Припишем к каждому \(7\), получим:
\(17, \; 27, \; 47,\) сумма \(91=7\cdot 13.\)
б) Предположим, что \(m=16\):
\((m-10)(a+b+c)=3k;\)
\(6(a+b+c)=3k;\)
\(2(a+b+c)=k;\)
\(a+b+c=\displaystyle \frac{k}{2}. \)
Так как \(k\) – цифра, \(k\leq 9;\)
\(a+b+c\leq 4,5.\)
\(a+b+c\) – натуральное, тогда \(a+b+c\leq 4.\)
Число \(4\) можно предстваить в виде суммы трех натуральных чисел единственным образом: \(4=1+1+2.\)
Получили противоречие, т. к. по условию, исходные числа различны.
в) Найдем \(m_{max}.\)
\((m-10)(a+b+c)=3k, \; k\leq 9,\) тогда \(3k\leq 27.\)
\((m-10)(a+b+c)\leq 27;\)
\(m-10\leq \displaystyle \frac{27}{a+b+c};\)
\(m\leq \displaystyle \frac{27}{a+b+c} +10.\)
Так как \(a, \; b, \; c\) – различные натуральные числа,
\(a+b+c\geq 1+2+3; \; a+b+c \geq 6;\)
\(0< \displaystyle \frac{1}{a+b+c}\leq \frac{1}{6}; \; m\leq \displaystyle \frac{27}{6}+10; \; m\leq 14,5.\)
Так как \(m\) – натуральное, \(m\leq 14\). Это оценка.
Приведем пример для \(m=14\):
\((14-10)(a+b+c)=3k;\)
\(4(a+b+c)=3k.\)
Возьмем \(a=1, \; b=2, \; c=3,\) тогда \(24=3k, \; k=8.\)
Числа: \(1, \; 2, \; 3\); приписали к каждому \(8\), получили: \(18, \; 28, \; 38.\)
Сумма \(84=14\cdot (1+2+3).\)
Ответ: а) Да; б)Нет; в)\(14\).
Часто вопрос в пунктах (а) и (б) формулируется так:
«Может ли быть, что...»
Если ответ: «Да», то правильная форма ответа: «Да, может. Вот пример: ...»
Этого достаточно. Вам не нужно объяснять, как вы получили пример, есть ли другие примеры. Все это неважно. Главное – ответить на вопрос и привести пример.
Если ответ: «Нет», то правильная форма ответа: «Нет, не может, потому что ...»
В этом случае необходимо привести обоснование, доказать, что такого быть не может. Чаще всего вы пользуемся методом «От противного». Предполагаем, что утверждение, о котором говорится в условии пункта (б), выполнено. И показываем, что из него следует ложное утрверждение, приходим к противоречию.
Вот пример пары таких утверждений:
а) Можно ли сдать ЕГЭ по математике на \(100\) баллов?
Ответ: «Да, можно. Вот пример: мой друг Вася сдал ЕГЭ по математике на \(100\) баллов».
б) Можно ли сдать ЕГЭ по матиматике на \(105\) баллов?
Ответ: «Нет, нельзя, потому что по правилам проведения ЕГЭ, наибольший тестовый балл равен \(100\)».
В этом случае примера недостаточно.
Если вы скажете: «Нет, на \(105\) баллов сдать нельзя! Даже очень умный Вася не смог сдать на \(105\) баллов!» – этого недостаточно. Такой ответ будет оценен в \(0\) баллов.
Вам нужно доказать утверждение в общем виде. Ни Вася, ни Маша, ни Наташа не смогут получить на ЕГЭ \(105\) баллов, потому что наибольший тестовый бал на ЕГЭ равен \(100\), а \(100 < 105\).
Следующая задача была предложена выпускникам на ЕГЭ-2023. В ней нет ни уравнений, ни неравенств, но метод «Оценка плюс пример» в ней используется.
2. Егор делит линейку на части. За одно действие он может отрезать от любого количества линеек равные части, имеющие целую длину.
а) Может ли Егор за \(5\) ходов разделить линейку длиной в \(32\) см на части по \(1\) см?
б) Может ли Егор за \(4\) хода разделить линейку длиной в \(50\) см на части по \(1\) см?
в) За какое наименьшее количество ходов Егор может разделить линейку длиной в \(300\) см на части по \(1\) см?
Решение:
а) Да. Первым ходом Егор отрежет от линейки \(16\) см и получит две линейки по \(16\) см.
Вторым ходом отрежет ото всех линеек по \(8\) см и получит четыре линейки по \(8\) см.
Третьим отрежет по \(4\) см и получит \(8\) линеек по \(4\) см.
Четвертым ходом он отрежет по \(2\) см и получит \(16\) линеек по \(2\) см.
Последним, пятым ходом отрежет по \(1\) см и получит \(32\) части по \(1\) см.
б) Нет. За один ход Егор делит некоторые из кусочков линеек пополам, поэтому каждым ходом общее количество частей увеличивается не более, чем в \(2\) раза. Следовательно, за \(4\) хода Егор получит не более \(16\) частей, а необходимо получить \(50\) частей.
в) За восемь ходов Егор получит не более \(256\) частей, а необходимо получить \(300\) частей, поэтому восьми ходов не хватит. Значит, число ходов не меньше \(9\). Это оценка. Покажем, как Егор может разделить линейку за девять ходов, Каждым ходом, кроме последнего, Егор отрезает указанную часть от всех имеющихся у него линеек. Последним ходом Егор отрезает \(1\) см только от линеек, длина которых больше одного сантиметра.
Вот что получится:
\(1\) ход, была линейка \(300\) см, стало \(2\) по \(150\) см,
\(2\) ход, было \(2\) по \(150\) см, стало \(4\) по \(75\) см,
\(3\) ход, было \(4\) по \(75\) см, стало \(4\) по \(37\) см и \(4\) по \(38\) см,
\(4\) ход, получили \(12\) по \(19\) см и \(4\) по \(18\) см (каждый кусочек по \(38\) см поделили пополам, а от кусочков по \(37\) см отрезали части по \(19\) см),
\(5\) ход, \(20\) по \(19\) см и \(12\) по \(10\) см,
\(6\) ход, \(44\) по \(5\) см и \(20\) по \(4\) см,
\(7\) ход, \(84\) по \(2\) см и \(44\) по \(3\) см,
\(8\) ход, \(212\) по \(1\) см и \(44\) по \(2\) см,
\(9\) ход, двухсантиметровые кусочки делим пополам, получаем \(300\) частей по \(1\) см.
Ответ: а) Да; б) Нет; в) \(9\).
