previous arrow
next arrow
Slider

Метод «Оценка плюс пример» в задачах ЕГЭ на числа и их свойства (задание 19)

«Оценка плюс пример» — это специальное математическое рассуждение, которое применяется в некоторых задачах при нахождении наибольших или наименьших значений.

Предположим, что мы ищем наименьшее значение некоторой величины A. Действуем в два этапа.

1) Оценка. Показываем, что выполнено неравенство A \geq \alpha .

2) Пример. Предъявляем пример, когда достигается равенство A = \alpha .

Сейчас покажем, как этот метод применяется в задачах. Начнем с задачи простой и умилительной. Поговорим о кроликах.

(ЕГЭ) В живом уголке четыре ученика кормят кроликов. Каждый кормит нескольких (хотя бы одного) кроликов, но не всех. Первый ученик дает порцию по 100 грамм, второй – по 200 г, третий – по 300 г., а четвертый – по 400 г.

а) Может ли оказаться, что кроликов было 15 и все они получили одинаковое количество корма?

б) Может ли оказаться, что кроликов было 15 и все они получили различное количество корма?

в) Какое наибольшее количество кроликов могло быть в живом уголке, если каждый ученик насыпал корм ровно четырем кроликам и все кролики получили разное количество корма?

а) Да, может. Например, первый и четвертый ученики кормят семь кроликов. Каждый из этих семи кроликов получает по 100 + 400 = 500 г корма. Второй и третий ученики кормят восьмерых оставшихся кроликов, которые также получат по 200 + 300 = 500 г корма.

б) Нет, не может.

Пусть среди кроликов есть «счастливец», которого покормили все школьники. Он получил максимально возможное количество корма, равное 100 + 200 + 300 + 400 = 1000 г.

Среди кроликов также может быть «невезучий», которого никто не покормил. Он получил 0 грамм корма. Значит, количество корма для одного кролика может принимать 11 различных значений: 0, 100, 200, 300… 1000 грамм.

Поскольку кроликов 15, а возможных значений только 11, среди этих пятнадцати найдутся кролики, получившие одинаковое количество корма.

в) Если каждый ученик насыпал корм четверым кроликам, то всего ученики раздали кроликам

4∙(100 + 200 + 300 + 400) = 4000 г. корма.

В пункте (б) мы выяснили, что всего может быть 11 различных значений для количества корма, которое получил кролик. Но если 11 кроликов получают различное количество корма, то общее количество корма равно 0 + 100 + 200 +…+ 1000 = 5500 грамм. Это на 1500 грамм больше, чем 4000 грамм.

Значит, накормить 11 кроликов, соблюдая все условия пункта (в), школьники не смогут.

Вариант с 10 кроликами также невозможен: даже если среди кроликов не будет того, который получил 1000 г, все равно не хватает 500 г корма.

Получается, что число кроликов не больше, чем 9. Мы оценили количество кроликов. Приведем пример, когда кроликов именно 9.

0 100 200 300 400 600 700 800 900
1 ученик 100г + + + +
2 ученик 200 г + + + +
3 ученик 300 г + + + +
4 ученик 400 г + + + +

 

Варианты 1000 г и 500 г отсутствуют. Все условия задачи выполнены – каждый ученик покормил 4 кроликов, и все кролики получили различное количество корма.

Ответ: 9.

В пункте (в) мы применили метод «Оценка плюс пример». Это один из основных методов решения задач на числа и их свойства.

Сначала мы доказали, что число кроликов не больше 9.

После этого привели пример, когда кроликов ровно 9.

Вот более сложная задача. Здесь тоже применяется метод «Оценка плюс пример».

2. На доске написано 30 натуральных чисел (не обязательно различных), каждое из которых больше 4, но не превосходит 44. Среднее арифметическое написанных чисел равно 11. Вместо каждого из чисел на доске написали число, в два раза меньшее первоначального. Числа, которые после этого оказались меньше 3, с доски стёрли.

а) Могло ли оказаться так, что среднее арифметическое чисел, оставшихся на доске, больше 16?

б) Могло ли среднее арифметическое оставшихся на доске чисел оказаться больше 14, но меньше 15?

в) Найдите наибольшее возможное значение среднего арифметического чисел, которые остались на доске.

Пусть на доске были написаны числа x_{1},x_{2},...x_{30} – всего 30 чисел, причем
5\leq x_{i}\leq 44.

Вместо каждого из чисел x_{1},x_{2},...x_{30} написали число \frac{x_{1}}{2},\frac{x_{2}}{2},...\frac{x_{30}}{2}.

Заметим, что если x_{i}=5, то 

Пусть на доске было k чисел, не равных 5, и 30 - k пятерок.

Поскольку среднее арифметическое 30 чисел равно их сумме, деленной на 30, сумма 30 чисел на доске равна 30 ∙ 11=330.

Пусть S – сумма k чисел, не равных 5. Тогда
S+5\left ( 30-k \right )=330, отсюда S=180+5k.

Пусть m – среднее арифметическое k чисел, которые остались на доске после того, как стерли числа меньшие трёх.

После того, как k чисел были уменьшены в 2 раза, их сумма стала равна \frac{S}{2}, а их среднее арифметическое m=\frac{S}{2k}.

a) Может ли быть

Предположим, что  тогда

;

Пусть k=6, то есть на доске 6 чисел, не равных 5, и 24 пятёрки.

Тогда 24\cdot 5+S=330, S=210.

Подойдут числа:

\underbrace{5,5...5}_{24},\;35,\;35,\;35,\;35,\;35,\;35.

б) Может ли быть  где m=\frac{S}{2k}?

Предположим, что 

Тогда

отсюда ,

Неравенство не имеет целых решений. Значит, предположение было неверно.

в) Найдем наибольшее m, где m=\frac{S}{2k}.

Сумма k чисел, не равных 5, равна S; мы знаем, что S=180+5k.

m=\frac{S}{2k}=\frac{90}{k}+\frac{5}{2};

Очевидно, m максимально при наименьшем возможном k.

Поскольку на доске k чисел, отличных от 5, каждое из этих чисел больше 5 и не превосходит 44 (по условию). Тогда их сумма
6k\leq S\leq 44k.

6k\leq 180+5k\leq 44k,

180+5k\leq 44k,

39k\geq 180

k\geq 4\frac{8}{13}

Поскольку k – целое,
k\geq 5.

Тогда
m=\frac{S}{2k}=\frac{90}{k}+\frac{5}{2}\leq \frac{90}{5}+\frac{5}{2};

m\leq 20,5.

Это оценка. Приведем пример, когда k=5 и m=20,5. На доске 5 чисел, больших пяти, сумма которых равна S=205. Кроме них, на доске находится 25 пятёрок.

По условию, числа, большие пяти, могут быть равны между собой. Возьмем их равными 41 = 205 : 5.

Получим:

\underbrace{5,5...5}_{25},\;41,\;41,\;41,\;41,\;41

В этом случае m = 20,5.

В следующих статьях – читайте о других секретах решения задания 19 Профильного ЕГЭ по математике (Числа и их свойства). Приходите к нам в ЕГЭ-Студию на интенсивы по задаче 19 и на наш Онлайн-курс.