Slider

Нестандартные задачи на ЕГЭ по математике

Натуральные числа — это числа 1,2,3, ... – то есть те, что мы используем для счёта предметов. Ноль не является натуральным числом. Множество натуральных чисел обозначается N.

Целые числа — это 0,±1,±2,±3 ... Множество целых чисел обозначается Z.

Рациональные
— числа, которые можно записать в виде дроби , где р – целое, а q – натуральное. Например, – рациональные числа. Рациональные числа – это периодические десятичные дроби. Множество рациональных чисел обозначается Q

Иррациональные числа – те, которые нельзя записать в виде или в виде периодической десятичной дроби. Числа π и е, – иррациональные.

Множества рациональных и иррациональных чисел вместе образуют множество действительных чисел R.

Дальше мы будем говорить о натуральных числах.

Число a делится на число b не равное нулю, если найдется такое число c такое, что a = bc. Например, 15 делится на 3, а 49 делится на 7. Обозначается это так: a ⋮ b
Если a делится на b, то число b называется делителем числа a.
- Если числа a и b делятся на c, то a + b тоже делится на c.
- Если числа a и b делятся на c, а m и n – целые, то ma + nb тоже делится на c

Признаки делимости:

a ⋮ 2 ⇔ последняя цифра числа a четная.
a ⋮ 3 ⇔ сумма цифр числа a делится на 3;
a ⋮ 5 ⇔ число a заканчивается на 0 или на 5;
a ⋮ 4 ⇔ число, составленное из двух последних цифр числа a, делится на 4.
a ⋮ 8 ⇔ число, составленное из трех последних цифр числа a, делится на 8.
a ⋮ 9 ⇔ сумма цифр числа a делится на 9.
a ⋮10 ⇔ последняя цифра числа a равна 0;
a ⋮11 ⇔ суммы цифр на четных и нечетных позициях числа a равны или их разность кратна 11.

Формула деления с остатком. Если a = bс + r, то число а делится на b с остатком r. Немного непривычно, что формула деления с остатком не содержит знака деления.

Например, при делении 9 на 4 мы получаем частное 2 и остаток 1, то есть 9 = 4∙2 + 1.
При делении 53 на 5 мы получим 10 и в остатке 3, то есть 53 = 5∙10 + 3.
Остаток от деления любого нечётного числа на 2 равен единице. Поэтому любое нечётное число может быть записано в виде 2n + 1, а четное – в виде 2n.

Простые числа – те, что делятся только на себя и на единицу. Единица не является ни простым, ни составным числом. Простые числа: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19…

Любое натуральное число можно разложить на простые множители. Например, 72 = 2∙2∙2∙3∙3, а 98 = 2∙7∙7.

Основная теорема арифметики: любое натуральное число можно представить в виде произведения простых делителей, взятых в натуральных степенях, причем это разложение единственно.


Например, 72 = 2³∙3²; 98 = 2∙7².
Количество делителей натурального числа равно .

Наименьшее общее кратное двух чисел (НОК) — это наименьшее число, которое делится на оба данных числа.
Наибольший общий делитель двух чисел (НОД) — это наибольшее число, на которое делятся два данных числа.

Многие нестандартные задачи решаются с помощью метода «Оценка плюс пример».

«Оценка плюс пример» — это специальное математическое рассуждение, которое применяется в некоторых задачах при нахождении наибольших или наименьших значений.

Предположим, что мы ищем наименьшее значение некоторой величины A. Действуем в два этапа.
1. Оценка. Показываем, что выполнено неравенство A ≥ α.
2. Пример. Предъявляем пример, когда достигается равенство A = α.

Примеры решения нестандартных задач:

1. Два брата продали стадо овец, выручив за каждую овцу столько рублей, сколько было в стаде овец. Решив разделить выручку поровну, они поступили следующим образом: каждый брат, начиная со старшего, брал из общей суммы по 10 рублей. После того, как в очередной раз старший брат взял 10 рублей, остаток от выручки оказался меньше 10 рублей. Желая его компенсировать, старший брат отдал младшему свой нож. Во сколько рублей был оценен этот нож? (Все суммы денег – целое количество рублей).

[wpm_video video=https://youtu.be/U9rKIlqi4sw ratio=16by9 autoplay=off]

2.

На доске написано 30 различных натуральных чисел, десятичная запись каждого из которых оканчивается или на цифру 2, или на цифру 6. Сумма написанных чисел равна 2454.

а) Может ли на доске быть поровну чисел, оканчивающихся на 2 и на 6?

б) Может ли ровно одно число на доске оканчиваться на 6?

в) Какое наименьшее количество чисел, оканчивающихся на 6, может быть записано на доске?

Интенсивная подготовка

Бесплатные пробные ЕГЭ

Расписание курсов

Звоните нам: 8 (800) 775-06-82 (бесплатный звонок по России)
                       +7 (495) 984-09-27 (бесплатный звонок по Москве)

Или нажмите на кнопку «Узнать больше», чтобы заполнить контактную форму. Мы обязательно Вам перезвоним.

ЛЕТНИЕ КУРСЫ ЕГЭ И ОГЭ

Типы подготовки:
Сказать спасибо
ege-tv

Полный онлайн-курс подготовки к ЕГЭ по математике. Структурировано. Четко. Без воды. Сдай ЕГЭ на 100 баллов!

Смотреть

Для нормального функционирования и Вашего удобства, сайт использует файлы cookies. Это совершенно обычная практика.Продолжая использовать портал, Вы соглашаетесь с нашей Политикой конфиденциальности.

Позвоните мне

Все поля обязательны для заполнения

Отправить

Премиум

Вся часть 2 на ЕГЭ по математике, от задачи 13 до задачи 19. То, о чем не рассказывают даже ваши репетиторы. Все приемы решения задач части 2. Оформление задач на экзамене. Десятки реальных задач ЕГЭ, от простых до самых сложных.

Видеокурс «Премиум» состоит из 7 курсов  для освоения части 2 ЕГЭ по математике (задачи 13-19). Длительность каждого курса - от 3,5 до 4,5 часов.

  1. Уравнения (задача 13)
  2. Стереометрия (задача 14)
  3. Неравенства (задача 15)
  4. Геометрия (задача 16)
  5. Финансовая математика (задача 17)
  6. Параметры (задача 18)
  7. Нестандартная задача на числа и их свойства (задача 19).

Здесь то, чего нет в учебниках. Чего вам не расскажут в школе. Приемы, методы и секреты решения задач части 2.

Каждая тема разобрана с нуля. Десятки специально подобранных задач, каждая из которых помогает понять «подводные камни» и хитрости решения.  Автор видеокурса Премиум - репетитор-профессионал Анна Малкова.

Получи пятерку

Видеокурс «Получи пятерку» включает все темы, необходимые для успешной сдачи ЕГЭ по математике на 60-65 баллов. Полностью все задачи 1-13 Профильного ЕГЭ по математике. Подходит также для сдачи Базового ЕГЭ по математике. Если вы хотите сдать ЕГЭ на 90-100 баллов, вам надо решать часть 1 за 30 минут и без ошибок!

Курс подготовки к ЕГЭ для 10-11 класса, а также для преподавателей. Все необходимое, чтобы решить часть 1 ЕГЭ по математике (первые 12 задач) и задачу 13 (тригонометрия). А это более 70 баллов на ЕГЭ, и без них не обойтись ни стобалльнику, ни гуманитарию.

Вся необходимая теория. Быстрые способы решения, ловушки и секреты ЕГЭ. Разобраны все актуальные задания части 1 из Банка заданий ФИПИ. Курс полностью соответствует требованиям ЕГЭ-2018.

Курс содержит 5 больших тем, по 2,5 часа каждая. Каждая тема дается с нуля, просто и понятно.

Сотни заданий ЕГЭ. Текстовые задачи и теория вероятностей. Простые и легко запоминаемые алгоритмы решения задач. Геометрия. Теория, справочный материал, разбор всех типов заданий ЕГЭ. Стереометрия. Хитрые приемы решения, полезные шпаргалки, развитие пространственного воображения. Тригонометрия с нуля - до задачи 13. Понимание вместо зубрежки. Наглядное объяснение сложных понятий. Алгебра. Корни, степени и логарифмы, функция и производная. База для решения сложных задач 2 части ЕГЭ.

Сразу после оплаты вы получите ссылки на скачивание видеокурсов и уникальные ключи к ним.

Задачи комплекта «Математические тренинги - 2019» непростые. В каждой – интересные хитрости, «подводные камни», полезные секреты.

Варианты составлены так, чтобы охватить все возможные сложные задачи, как первой, так и второй части ЕГЭ по математике.

Как пользоваться?

  1. Не надо сразу просматривать задачи (и решения) всех вариантов. Такое читерство вам только помешает. Берите по одному! Задачи решайте по однойи старайтесь довести до ответа.
  2. Если почти ничего не получилось – начинать надо не с решения вариантов, а с изучения математики. Вам помогут книга для подготовки к ЕГЭи Годовой Онлайн-курс.
  3. Если вы правильно решили из первого варианта Маттренингов 5-7 задач – значит, знаний не хватает. Смотри пункт 1: Книгаи Годовой Онлайн-курс!
  4. Обязательно разберите правильные решения. Посмотрите видеоразбор – в нем тоже много полезного.
  5. Можно решать самостоятельно или вместе с друзьями. Или всем классом. А потом смотреть видеоразбор варианта.

Стоимость комплекта «Математические тренинги – 2019» - всего 1100 рублей. За 5 вариантов с решениями и видеоразбором каждого.