Нестандартные задачи на ЕГЭ по математике

Необходимая теория

Натуральные числа — это числа 1,2,3, ... – то есть те, что мы используем для счёта предметов. Ноль не является натуральным числом. Множество натуральных чисел обозначается N.

Целые числа — это 0,±1,±2,±3 ... Множество целых чисел обозначается Z.

Рациональные — числа, которые можно записать в виде дроби , где р – целое, а q – натуральное. Например, – рациональные числа. Рациональные числа – это периодические десятичные дроби. Множество рациональных чисел обозначается Q

Иррациональные числа – те, которые нельзя записать в виде или в виде периодической десятичной дроби. Числа π и е, – иррациональные.

Множества рациональных и иррациональных чисел вместе образуют множество действительных чисел R.

Дальше мы будем говорить о натуральных числах.

Число a делится на число b не равное нулю, если найдется такое число c такое, что a = bc. Например, 15 делится на 3, а 49 делится на 7. Обозначается это так: a ⋮ b
Если a делится на b, то число b называется делителем числа a.
- Если числа a и b делятся на c, то a + b тоже делится на c.
- Если числа a и b делятся на c, а m и n – целые, то ma + nb тоже делится на c

Признаки делимости:

a ⋮ 2 ⇔ последняя цифра числа a четная.
a ⋮ 3 ⇔ сумма цифр числа a делится на 3;
a ⋮ 5 ⇔ число a заканчивается на 0 или на 5;
a ⋮ 4 ⇔ число, составленное из двух последних цифр числа a, делится на 4.
a ⋮ 8 ⇔ число, составленное из трех последних цифр числа a, делится на 8.
a ⋮ 9 ⇔ сумма цифр числа a делится на 9.
a ⋮10 ⇔ последняя цифра числа a равна 0;
a ⋮11 ⇔ суммы цифр на четных и нечетных позициях числа a равны или их разность кратна 11.

Формула деления с остатком. Если a = bс + r, то число а делится на b с остатком r. Немного непривычно, что формула деления с остатком не содержит знака деления.

Например, при делении 9 на 4 мы получаем частное 2 и остаток 1, то есть 9 = 4∙2 + 1.
При делении 53 на 5 мы получим 10 и в остатке 3, то есть 53 = 5∙10 + 3.
Остаток от деления любого нечётного числа на 2 равен единице. Поэтому любое нечётное число может быть записано в виде 2n + 1, а четное – в виде 2n.

Простые числа – те, что делятся только на себя и на единицу. Единица не является ни простым, ни составным числом. Простые числа: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19…

Любое натуральное число можно разложить на простые множители.

Например, 72 = 2∙2∙2∙3∙3, а 98 = 2∙7∙7.

Основная теорема арифметики: любое натуральное число можно представить в виде произведения простых делителей, взятых в натуральных степенях, причем это разложение единственно.

Например, 72 = 2³∙3²; 98 = 2∙7².

Количество делителей натурального числа равно .

Наименьшее общее кратное двух чисел (НОК) — это наименьшее число, которое делится на оба данных числа.
Наибольший общий делитель двух чисел (НОД) — это наибольшее число, на которое делятся два данных числа.

Многие нестандартные задачи решаются с помощью метода «Оценка плюс пример».

«Оценка плюс пример» — это специальное математическое рассуждение, которое применяется в некоторых задачах при нахождении наибольших или наименьших значений.

Предположим, что мы ищем наименьшее значение некоторой величины A. Действуем в два этапа.
1. Оценка. Показываем, что выполнено неравенство A ≥ α.
2. Пример. Предъявляем пример, когда достигается равенство A = α.

Примеры решения нестандартных задач:

1. Два брата продали стадо овец, выручив за каждую овцу столько рублей, сколько было в стаде овец. Решив разделить выручку поровну, они поступили следующим образом: каждый брат, начиная со старшего, брал из общей суммы по 10 рублей. После того, как в очередной раз старший брат взял 10 рублей, остаток от выручки оказался меньше 10 рублей. Желая его компенсировать, старший брат отдал младшему свой нож. Во сколько рублей был оценен этот нож? (Все суммы денег – целое количество рублей).

Посмотреть решение (задача 2)

2.

На доске написано 30 различных натуральных чисел, десятичная запись каждого из которых оканчивается или на цифру 2, или на цифру 6. Сумма написанных чисел равна 2454.

а) Может ли на доске быть поровну чисел, оканчивающихся на 2 и на 6?

б) Может ли ровно одно число на доске оканчиваться на 6?

в) Какое наименьшее количество чисел, оканчивающихся на 6, может быть записано на доске?

Посмотреть решение

Нестандартные задачи на ЕГЭ - это задачи на числа и их свойства. В вариантах ЕГЭ это задача № 19.