previous arrow
next arrow
Slider

Обратная функция

Функция — это действие над переменной. Но что будет, если сделать действие — и обратное действие? Открыть дверь и закрыть дверь. Включить свет и выключить свет. Будет то же, что и было раньше, верно? Так и с функциями.

Функции f(x) и g(x) называются взаимно-обратными, если f(g(x)) = x.

Например, {\left(\sqrt{x}\right)}^2=x при x \geq 0.

Сделали действие (возвели x в квадрат). Сделали обратное действие (извлекли квадратный корень). И получили то, что и было раньше, то есть переменную x.

А вот \sqrt{x^2}=\left|x\right|. Подумайте, почему это так.

Другой пример взаимно-обратных функций: показательная и логарифмическая. Помните основное логарифмическое тождество: \boldsymbol{a^{log_ax}=x} для x \textgreater 0. Для положительных х функции y = a^x и y=log_ax являются взаимно-обратными.

Еще один пример взаимно-обратных функций:

y = sin x и y = arcsin x при x\in \left [-\frac{ \pi }{2};\frac{ \pi }{2}\right] .

Вспомним определение функции. Числовая функция y = f(x) — это такое соответствие между двумя числовыми множествами A и B, при котором каждому числу x ∈ A отвечает одно-единственное число y ∈ B. Множество A называется при этом областью определения функции, множество B — областью значений.

Пусть соответствие f является взаимно-однозначным:


Тогда существует функция g, которая действует в обратную сторону: каждому числу y ∈ B она ставит в соответствие одно-единственное число x ∈ A, такое, что f(x) = y:


Функция g называется обратной к функции f. Точно так же и функция f будет обратной к функции g.

Если мы возьмём какое-либо число x ∈ A и подействуем на него функцией f, то получим число y = f(x) ∈ B. Теперь на полученное число y подействуем функцией g. Куда попадём? Правильно, вернёмся к исходному числу x. Это можно записать так:

(1)

 
Последовательное применение двух взаимно-обратных действий возвращает нас в исходную точку. Как и в жизни: сначала открыли дверь, а потом совершили обратное действие — закрыли дверь; в итоге вернулись к начальной ситуации.

Так, если возвести число 3 в степень x, а затем совершить обратное действие — взять от полученного числа 3x логарифм по основанию 3 — мы вернёмся к исходному числу x:

Графики взаимно-обратных функций симметричны относительно прямой у = x.

То, что для функции является областью определения, для обратной функции будет областью значений.

Как вывести формулу обратной функции?

Если вы учитесь в математическом классе или на первом курсе вуза, вам может встретиться такое задание.

Например, у вас есть линейная функция y = 2x + 5. Какая же функция будет к ней обратной?

Действуем следующим образом:

1) Выражаем из формулы функции x через у.

Получаем: x = \frac{1}{2} (y- 5) = \frac{1}{2} y - \frac{5}{2}.

2) В формуле x = \frac{1}{2} y - \frac{5}{2} меняем x и у местами. Получаем формулу обратной функции: y = \frac{1}{2} x - \frac{5}{2}

Другой пример. Найдем обратную функцию для функции y = x^3 + 1.

1) Выражаем из формулы функции x через у. Получаем: x =\sqrt [3] {y-1}.

2) В формуле x =\sqrt [3] {y-1}. меняем x и у местами. Получаем формулу обратной функции: y =\sqrt [3] {x-1}.