Анна Малкова
Случайным называется событие, которое нельзя точно предсказать заранее. Оно может либо произойти, либо нет.
Вы выиграли в лотерею – случайное событие. Пригласили друзей отпраздновать выигрыш, а они по дороге к вам застряли в лифте – тоже случайное событие. Правда, мастер оказался поблизости и освободил всю компанию через десять минут – и это тоже можно считать счастливой случайностью…
Наша жизнь полна случайных событий. О каждом из них можно сказать, что оно произойдет с некоторой вероятностью. Скорее всего, вы интуитивно знакомы с этим понятием. Теперь мы дадим математическое определение вероятности.
Начнем с простых примеров. Вы бросаете монетку. Орел или решка?
Действие, которое может привести к одному из нескольких результатов, в теории вероятностей называют испытанием.
Орел и решка – два возможных исхода испытания.
Орел выпадет в одном случае из двух возможных. Говорят, что вероятность того, что монетка упадет орлом, равна \(\displaystyle \frac{1}{2}\).
Бросим игральную кость. У кубика шесть граней, поэтому возможных исходов тоже шесть.
Например, вы загадали, что выпадет три очка. Это один исход из шести возможных. В теории вероятностей он будет называться благоприятным исходом.
Вероятность выпадения тройки равна \(\displaystyle \frac{1}{6}\) (один благоприятный исход из шести возможных).
Вероятность четверки – тоже \(\displaystyle \frac{1}{6}\).
А вот вероятность появления семерки равна нулю. Ведь грани с семью точками на кубике нет.
Вероятность события равна отношению числа благоприятных исходов к общему числу исходов при условии, что все исходы равноправны.
Очевидно, что вероятность не может быть больше единицы.
Покажем, что такое вероятность, на простом примере.
В пакете 10 яблок (и ничего больше). Из них 5 – красные, 3 – зеленые, а 2 – желтые. Ни формой, ни размером яблоки не отличаются. Вы запускаете в пакет руку и наугад вынимаете яблоко.
Вероятность вытащить красное яблоко равна \(\displaystyle \frac{5}{10}\),
Вероятность вытащить зеленое: \(\displaystyle \frac{3}{10}\).
Вероятность вытащить желтое яблоко равна \(\displaystyle \frac{2}{10}\).
Сложив эти три вероятности, мы получим 1.
Это верно не только для яблок.
Сумма вероятностей всех возможных исходов равна 1.
Вероятность достать красное или зеленое яблоко равна \(\displaystyle \frac{5}{10}+\frac{3}{10}=\frac{8}{10}\). Ведь красных или зеленых яблок ровно 8 из 10.
И это правило выполняется не только для яблок! Вероятности можно складывать. Правда, здесь есть важное уточнение: яблоки должны быть или полностью красными, или полностью зелеными, но не красными с одной стороны и зелеными с другой.
Такие события – «яблоко полностью красное» и «яблоко полностью зеленое» - называют несовместными.
Для несовместных событий вероятность наступления одного или другого из них равна сумме вероятностей.
И еще одно важное понятие можно «вытащить» из нашего пакета с яблоками.
Если яблоко красное или зеленое, то оно не желтое.
Яблоко желтое с вероятностью \(\displaystyle \frac{2}{10}\). А не желтое (красное или зеленое) с вероятностью \(1-\displaystyle \frac{2}{10}=\frac{8}{10}\).
Таким способом мы будем находить вероятность противоположного события.
А вероятность вытащить из этого пакета банан равна нулю. Ведь там не было ничего, кроме яблок!
1. ЕГЭ. В фирме такси в данный момент свободно 15 машин: 2 красных, 9 желтых и 4 зеленых. По вызову выехала одна из машин, случайно оказавшихся ближе всего к заказчице. Найдите вероятность того, что к ней приедет желтое такси.
Решение:
Всего имеется 15 машин, то есть к заказчице приедет одна из пятнадцати. Желтых – девять, и значит, вероятность приезда именно желтой машины равна \(\displaystyle \frac{9}{15}\), то есть \(0,6\).
Ответ: \(0,6\).
2. ЕГЭ. В сборнике билетов по биологии всего 25 билетов, в двух из них встречается вопрос о грибах. На экзамене школьнику достаётся один случайно выбранный билет. Найдите вероятность того, что в этом билете не будет вопроса о грибах.
Решение:
Очевидно, вероятность вытащить билет без грибов равна \(\displaystyle \frac{23}{25}\), то есть \(0,92\).
Ответ: \(0,92\).
3. ЕГЭ. На борту самолёта 13 мест рядом с запасными выходами и 19 мест за перегородками, разделяющими салоны. Остальные места неудобны для пассажира высокого роста. Пассажир В. высокого роста. Найдите вероятность того, что на регистрации при случайном выборе места пассажиру В. достанется удобное место, если всего в самолёте 200 мест.
Решение:
В самолете \(13 + 19 = 32\) мест удобны пассажиру В., а всего в самолете \(200\) мест. Поэтому вероятность того, что пассажиру В. достанется удобное место равна \(32:200=0,16\).
Ответ: \(0,16\).
4. ЕГЭ. Перед началом первого тура чемпионата по бадминтону участников разбивают на игровые пары случайным образом с помощью жребия. Всего в чемпионате участвует 26 бадминтонистов, среди которых 10 участников из России, в том числе Роман Орлов. Найдите вероятность того, что в первом туре Роман Орлов будет играть с каким-либо бадминтонистом из России.
Ответ: \(0,36\).
Если вы получили \(\displaystyle \frac{10}{26}\) – значит, у вас Роман Орлов играет в бадминтон сам с собой :-)
5. При производстве пуговиц в среднем на каждые \(2883\) хороших пуговицы приходится \(117\) бракованных (без дырочек). Найдите вероятность того, что случайно выбранная пуговица окажется без дырочек.
Решение:
Общее количество выпущенных пуговиц \(283+117=3000\). Вероятность того, что случайно выбранная пуговица окажется без дырочек \(\displaystyle \frac{117}{3000}=\displaystyle \frac{39}{1000}=0,039\).
Ответ: \(0,039\).
6. ОГЭ. Ученика попросили назвать число от 1 до 100. Какова вероятность того, что он назовет число кратное пяти?
Решение:
1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11… 100
Каждое пятое число из данного множества делится на 5. Значит, вероятность равна \(\displaystyle \frac{1}{5}\).
Ответ: \(0,2\).
7. ЕГЭ. Брошена игральная кость. Найдите вероятность того, что выпадет нечетное число очков.
Решение:
1, 3, 5 – нечетные числа; 2, 4, 6 – четные. Вероятность нечетного числа очков равна \(\displaystyle \frac{1}{2}\).
Ответ: \(0,5\).
8. ЕГЭ. Монета брошена три раза. Какова вероятность двух «орлов» и одной «решки»?
Решение:
Заметим, что задачу можно сформулировать по-другому: бросили три монеты одновременно. На решение это не повлияет.
Как вы думаете, сколько здесь возможных исходов?
Бросаем монету. У этого действия два возможных исхода: орел и решка
Две монеты – уже четыре исхода:
| орел | решка |
| орел | решка | орел | решка |
Три монеты? Правильно, 8 исходов, так как \(2\cdot2\cdot2=2^3=8\). Вот они:
| орел | орел | орел |
| орел | орел | решка |
| орел | решка | орел |
| решка | орел | орел |
| орел | решка | решка |
| решка | орел | решка |
| решка | решка | орел |
| решка | решка | решка |
Два орла и одна решка выпадают в трех случаях из восьми.
Вероятность равна \(\displaystyle \frac{3}{8}\), то есть \(0,375\).
Ответ: \(0,375\).
9. ЕГЭ. В случайном эксперименте бросают две игральные кости. Найдите вероятность того, что в сумме выпадет 8 очков. Результат округлите до сотых.
Решение:
Бросаем первую кость – шесть исходов. И для каждого из них возможны еще шесть - когда мы бросаем вторую кость. Получаем, что у данного действия – бросания двух игральных костей – всего 36 возможных исходов, так как \(6^2 = 36\).
А теперь – благоприятные исходы:
\(2\cdot6\)
\(3\cdot5\)
\(4\cdot4\)
\(5\cdot3\)
\(6\cdot2\)
Вероятность выпадения восьми очков равна \(\displaystyle \frac{5}{36}\approx0,14\).
Ответ: \(0,14\).
10. ЕГЭ. Симметричную игральную кость бросили 3 раза. Известно, что в сумме выпало
6 очков. Найдите вероятность события «хотя бы раз выпало 3 очка».
Решение:
Выпишем возможные исходы как тройки чисел так, чтобы в сумме получилось 6.
Всего 10 возможных исходов. Благоприятные исходы помечены красным цветом, их 6.
По определению вероятности получаем \(p=6:10=0,6\).
Ответ: \(0,6\).
11. ЕГЭ. Игральный кубик бросают дважды. Известно, что в сумме выпало 8 очков. Найдите вероятность того, что во второй раз выпало 3 очка.
Решение:
Выпишем возможные варианты получения 8 очков в сумме:
| 2 | 6 |
| 6 | 2 |
| 3 | 5 |
| 5 | 3 |
| 4 | 4 |
Подходит только вариант 5; 3. Вероятность этого события равна 1 : 5 = 0,2 (один случай из 5 возможных).
Ответ: \(0,2\).
12. ОГЭ. В случайном эксперименте симметричную монету бросают дважды. Найдите вероятность того, что орел выпадет ровно 1 раз.
Решение:
Пусть О — выпал орел, Р — решка. Выпишем всевозможные исходы, которые могут быть при двукратном бросании монетки: ОО, ОР, РО, РР. Орел выпал ровно 1 раз в двух случаев из 4, значит, вероятность \(p=\displaystyle \frac{2}{4}=\frac{1}{2}=0,5.\)
Ответ: \(0,5\).
13. ЕГЭ. Игральную кость бросают дважды. Найдите вероятность того, что оба раза выпало число, большее 3.
Решение:
Запишем в таблицу все возможные исходы и отметим те, где оба раза выпало число, большее 3.
| 11 | 21 | 31 | 41 | 51 | 61 |
| 12 | 22 | 32 | 42 | 52 | 62 |
| 13 | 23 | 33 | 43 | 53 | 63 |
| 14 | 24 | 34 | 44 | 54 | 64 |
| 15 | 25 | 35 | 45 | 55 | 65 |
| 16 | 26 | 36 | 46 | 56 | 66 |
Обратите внимание, что 23 и 32 – разные исходы. В первый раз выпала двойка, а во второй раз тройка – это один исход. А в первый раз тройка, во второй раз двойка – это другой исход.
Всего исходов 36, а благоприятных 9. Тогда по определению вероятности: \(p=\displaystyle \frac{9}{36}=\frac{1}{4}=0,25.\)
Ответ: \(0,25\).
14. ЕГЭ. Игральную кость бросают дважды. Найдите вероятность того, что сумма двух выпавших чисел равна 4 или 7.
Решение:
Запишем в таблицу все возможные исходы (их 36) и выделим благоприятные (их 9).
| 11 | 21 | 31 | 41 | 51 | 61 |
| 12 | 22 | 32 | 42 | 52 | 62 |
| 13 | 23 | 33 | 43 | 53 | 63 |
| 14 | 24 | 34 | 44 | 54 | 64 |
| 15 | 25 | 35 | 45 | 55 | 65 |
| 16 | 26 | 36 | 46 | 56 | 66 |
Вероятность события равна \(\displaystyle \frac{9}{36}=\frac{1}{4}=0,25.\)
Ответ: \(0,25\).
15. ЕГЭ. Определите вероятность того, что при бросании кубика выпадет число очков, не большее 3.
Решение:
Подходят случаи, когда на кубике выпало либо 1, либо 2, либо 3. Всего исходов 6. Находим вероятность по определению: \(p=\displaystyle \frac{3}{6}=\frac{1}{2}=0,5.\)
Ответ: \(0,5\).
16. ЕГЭ. Определите вероятность того, что при бросании игрального кубика (правильной кости) выпадет нечетное число очков.
Решение:
На кубике могут выпасть числа только от 1 до 6, а нечетное число очков — это 1, 3 и 5. Значит, благоприятных исходов 3, а всего исходов 6, и вероятность события \(p=\displaystyle \frac{3}{6}=\frac{1}{2}=0,5.\)
Ответ: \(0,5\).
17. ОГЭ. Телевизор у Маши сломался и показывает только один случайный канал. Маша включает телевизор. В это время по трем каналам из двадцати показывают кинокомедии. Найдите вероятность того, что Маша попадет на канал, где комедия не идет.
Решение:
Если по трем каналам идет комедия, то по оставшимся семнадцати комедия не идет. Тогда по определению, вероятность равна \(p=\displaystyle \frac{17}{20}=0,85.\)
Ответ: \(0,85\).
18. ОГЭ. Для экзамена подготовили билеты с номерами от 1 до 50. Какова вероятность того, что наугад взятый учеником билет имеет однозначный номер?
Решение:
Однозначные номера билетов – это 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, всего 9 номеров из 50. Вероятность вытащить билет с однозначным номером равна \(p=\displaystyle\frac{9}{50}=\displaystyle\frac{18}{100}=0,18.\)
Ответ: \(0,18\).
19. ОГЭ. В денежно-вещевой лотерее на 100 000 билетов разыгрывается 1300 вещевых и 850 денежных выигрышей. Какова вероятность получить денежный выигрыш?
Решение:
Вероятность денежного выигрыша равна отношению числа благоприятных исходов к общему числу исходов, то есть \(850:100000=0,0085.\).
Ответ: 0,0085.
20. В группе из 20 российских туристов несколько человек владеют иностранными языками. Из них пятеро говорят только по-английски, трое только по-французски, двое по-французски и по-английски. Какова вероятность того, что случайно выбранный турист говорит по-французски?
Решение:
Сосчитаем всех, кто говорит по-французски. Получается 5 туристов (трое – только по-французски, двое – по-французски и по-английски). Вероятность того, что случайно выбранный турист говорит по-французски, равна \(\displaystyle\frac{5}{20}=0,25.\).
Ответ: \(0,25\).
21. ОГЭ. В магазине канцтоваров продаётся 100 ручек, из них 37 – красные, 8 – зелёные, 17 – фиолетовые, ещё есть синие и чёрные, их поровну. Найдите вероятность того, что Алиса наугад вытащит красную или чёрную ручку.
Решение:
Вычислим, сколько черных ручек продается в магазине:
\(\displaystyle\frac{100-(37+8+17)}{2}=19\) ручек.
Вероятность того, что Алиса выберет красную или черную ручку, равна отношению числа благоприятных исходов к числу всех исходов. Благоприятные исходы — это красные и черные ручки, их \(19+37=56.\) Найдем вероятность \(p=\displaystyle\frac{56}{100}=0,56.\)
Ответ: \(0,56\).
22. ЕГЭ. Вероятность того, что новая шариковая ручка пишет плохо (или не пишет), равна 0,19. Покупатель в магазине выбирает одну такую ручку. Найдите вероятность того, что эта ручка пишет хорошо.
Решение:
События «ручка пишет хорошо» и «ручка пишет плохо» - противоположные. Сумма вероятностей противоположных событий равна 1. Значит, вероятность того, что ручка пишет хорошо, равна \(1-0,19=0,81.\)
Ответ: \(0,81\).
23. В коробке хранятся жетоны с номерами от 5 до 54 включительно. Какова вероятность того, что на извлечённом наугад из коробки жетоне написано двузначное число?
Решение:
Посчитаем, сколько всего жетонов в коробке.
Если бы номера жетонов начинались с первого, их было бы 54. Но номера жетонов начинаются с пятого, то есть нет жетонов 1, 2, 3 и 4. Значит, их \(n=54-4=50.\)
Из них 5 с однозначными номерами: 5, 6, 7, 8, 9.
А с двузначными номерами \(50-5=45\) жетонов.
Тогда \(p=45∶50=0,9\).
Ответ: \(0,9\).
24. Оля наугад выбирает трёхзначное число. Найдите вероятность того, что оно делится на 51.
Решение:
Событие A – выбранное число делится на 51.
Вероятность этого события \(P(A)=\displaystyle\frac{m}{n}\).
Найдём \(m\) и \(n\). Здесь \(m\) – количество трёхзначных чисел, кратных 51, \(n\) – число всех трёхзначных чисел.
Последнее трёхзначное число – это 999.
Найдём все числа, кратные 51, среди чисел от 1 до 999. Их даже можно пересчитать: 51, 102, 153, …, 969. Разделим 999 на 51. Получим \(999:51=19\displaystyle\frac{30}{51}\), то есть ровно 19 чисел, кратных 51. Но среди этого количества окажется двузначное число 51, а по условию, число должно быть трехзначным. Значит, \(m=18\).
Числа от 1 до 99 – однозначные или двузначные, а число 1000 – четырехзначное. Значит, трехзначных чисел ровно 900.
Таким образом,
\(P(A)=\displaystyle\frac{m}{n}=\frac{18}{900}=\frac{2}{100}=0,02. \)
Ответ: \(0,02\).
25. ЕГЭ. Фабрика выпускает сумки. В среднем на 200 качественных сумок приходится двадцать сумок с дефектами. Найдите вероятность того, что купленная сумка окажется качественной. Результат округлите до сотых.
Решение:
Обратите внимание на условие задачи. Здесь не говорится, что из 200 сумок двадцать – с дефектами. В тексте чётко обозначено, что качественных – 200 штук, а некачественных – 20 штук.
Событие A – купленная сумка окажется качественной. Найдём \(m\) и \(n\).
Всё просто, \(m=200\), \(n=200+20=220\).
\(P(A)=\displaystyle\frac{m}{n}=\frac{200}{220}=\frac{10}{11}\).
Чтобы округлить до сотых, делим в столбик. Найдём три цифры после запятой и запишем результат.
Получаем \(\displaystyle\frac{10}{11}\approx 0,909...\approx 0,91.\)
Ответ: \(0,91\).
Геометрическая вероятность
26. Елена Любецкая. В парке имеется озеро круглой формы радиусом 5 м. На поверхности озера располагается круглый домик для уточки с диаметром 1 м. Парашютист случайно приземляется в озеро. С какой вероятностью он попадет на домик для уточки?
Решение:
Это задача на геометрическую вероятность. В данном случае вероятность приземления на домик для уточки равна отношению площадей домика и озера, то есть отношению квадратов их диаметров (площадь круга равна \(\displaystyle\frac{\pi D^2}{4}\)). Заметим, что диаметр озера равен 10 метров, и тогда \(p = 1 : 100 = 0,01\). Будем надеяться, что при посадке парашютиста ни одна уточка не пострадала.
Ответ: \(0,01\)
