Анна Малкова
Не пугайтесь. В этой статье не будет непонятных слов: «конъюнкция, дизъюнкция». И не будет сложных схем, как на ЕГЭ по информатике.
Будет только то, что необходимо для успешной сдачи ЕГЭ по математике и вообще для понимания математики.
Покажем на простом примере, что такое объединение множеств и пересечение множеств.
Антон, Борис, Виктория, Дмитрий, Игорь, Костя, Лена, Маша и Наташа – друзья.
У Дмитрия, Игоря, Маши и Наташи есть кот.
У Бориса, Дмитрия, Игоря, Кости и Лены есть собака.
Пусть множество \(K\) включает тех, у кого есть кот.
Множество \(C\) включает владельцев собак.
Заметим, что Дмитрий и Игорь входят в оба множества – у них есть и кот, и собака.
Антон и Виктория не входят ни в одно. У них нет ни кота, ни собаки.
Схематично это можно изобразить так:
Говорят, что множество, элементами которого являются Дмитрий и Игорь – это пересечение множеств \(K\) и \(C\). Заметим, что пересечение множеств \(K\) и \(C\) – это элементы, входящие и во множество \(K\), и во множество \(C\) (есть и кот, и собака).
Вот как это обозначается: \(K\cap C\).
Вспомним, что такой же значок пересечения \(\cap\) мы встречали, например, в геометрии. Запись \(a\cap b=M\) означает, что прямые \(a\) и \(b\) пересекаются в точке \(M\). Другими словами, точка \(M\) принадлежит и той, и другой прямой.
А те, у кого есть кот или собака, образуют объединение множества \(K\) и множества \(C\).
Это Маша, Наташа, Дмитрий, Игорь, Борис, Лена и Костя. У них есть кот или собака, или и то, и другое животное.
Обозначается это так: \(K\cup C\).
Значок объединения \(\cup\) нам тоже знаком. Вспомните, как мы записываем ответы в неравенствах.
Запись \(x\in \left ( -\infty;0 \right ]\cup \left [ 1;2 \right ] \) означает, что \(x\) принадлежит числовому лучу от \(-\infty\) до нуля или отрезку от \(1\) до \(2\).
Теперь алгебра.
Фигурная скобка – знак системы. Она означает, что должно выполняться и то, и другое условие.
Вот, например, система линейных уравнений:
\(\left\{\begin{matrix}
y=2x,\\
y=6-x.
\end{matrix}\right.\)
Решением системы будет пара чисел \(\left ( x;y \right )\), удовлетворяющая и первому, и второму уравнению.
Легко найти, что \(x=2,\;y=4\).
Мы можем также решить эту систему графически: нарисовать графики функций \(y=2x\) и \(y=6-x\) и найти точку их пересечения \(M\left ( 2;4 \right )\).
Пересечение множеств, знак системы, знак \(\cap\) - все это можно описать словами «и то, и другое».
Теперь знак совокупности. Вот такая запись
\(\left[\begin{matrix} x=0,\\x=4 \end{matrix}\right.\)
означает, что \(x=0 \) или \(x = 4\). Или то, или другое.
Запоминаем: объединение множеств, знак совокупности, знак \(\cup\) символизируют понятие «или то, или другое, или и то, и другое сразу».
Но это не все. Смотрите, как выглядела бы задача по теории вероятностей про наших любителей котов и собак.
Известно, что в группе из 9 человек у четверых есть коты, у пятерых есть собаки, у двоих нет ни кота, ни собаки, а у двоих есть и кот, и собака.
Найдите вероятность следующих событий:
1) У человека из этой группы есть кот.
2) У человека из этой группы есть собака.
3) Есть и кот, и собака.
4) Есть кот или собака.
Мы помним, что вероятность события равна отношению числа благоприятных исходов к общему числу исходов.
Вероятность иметь кота для участника группы равна \(\displaystyle \frac{4}{9}\) (четверо котовладельцев из 9 человек).
Вероятность быть хозяином собаки равна \(\displaystyle \frac{5}{9}\).
Вероятность иметь и кота, и собаку равна \(\displaystyle \frac{2}{9}\) (двое из девяти).
А вот вероятность иметь кота или собаку равна \(\displaystyle \frac{4}{9}+\displaystyle \frac{5}{9}-\displaystyle \frac{2}{9}=\displaystyle \frac{7}{9}\). Действительно, это семеро из девяти.
Почему мы вычитаем \(\displaystyle \frac{2}{9}\)? Потому что Дмитрий и Игорь, у которых есть и кот, и собака, входят и в множество владельцев котов, и в множество владельцев собак.
Получается, мы определили вероятность суммы событий (есть кот или собака).
Заметьте, что в нашем случае она не равна сумме вероятностей. Потому что вероятность суммы событий равна сумме вероятностей только для несовместных событий, то есть тех, которые не могут происходить одновременно.
В статье «Теория вероятностей» мы поговорим более подробно о сумме событий (или то, или другое, или оба сразу) и о произведении событий (и то, и другое).
Объединим все, что узнали, в небольшую таблицу.
