previous arrow
next arrow
Slider

Основы логики. Система условий, совокупность условий

Анна Малкова

Не пугайтесь. В этой статье не будет непонятных слов: «конъюнкция, дизъюнкция». И не будет сложных схем, как на ЕГЭ по информатике.

Будет только то, что необходимо для успешной сдачи ЕГЭ по математике и вообще для понимания математики.

Покажем на простом примере, что такое объединение множеств и пересечение множеств.

Антон, Борис, Виктория, Дмитрий, Игорь, Костя, Лена, Маша и Наташа – друзья.

У Дмитрия, Игоря, Маши и Наташи есть кот.

У Бориса, Дмитрия, Игоря, Кости и Лены есть собака.

Пусть множество K включает тех, у кого есть кот.

Множество C включает владельцев собак.

Замети, что Дмитрий и Игорь входят в оба множества – у них есть и кот, и собака.

Антон и Виктория не входят ни в одно. У них нет ни кота, ни собаки.

Схематично это можно изобразить так:

Говорят, что множество, элементами которого являются Дмитрий и Игорь – это пересечение множеств K и C. Заметим, что пересечение множеств K и C – это элементы, входящие и во множество K, и во множество C (есть и кот, и собака).

Вот как это обозначается: K\cap C.

Вспомним, что такой же значок пересечения \cap мы встречали, например, в геометрии. Запись a\cap b=M означает, что прямые a и b пересекаются в точке M. Другими словами, точка M принадлежит и той, и другой прямой.

А те, у кого есть кот или собака, образуют объединение множества K и множества C.

Это Маша, Наташа, Дмитрий, Игорь, Борис, Лена и Костя. У них есть кот или собака, или и то, и другое животное.

Обозначается это так: K\cup C.

Значок объединения \cup нам тоже знаком. Вспомните, как мы записываем ответы в неравенствах.

Запись x\in \left ( -\infty;0 \right ]\cup \left [ 1;2 \right ] означает, что x принадлежит интервалу от -\infty до нуля или отрезку от 1 до 2.

Теперь алгебра.

Фигурная скобка – знак системы. Она означает, что должно выполняться и то, и другое условие.

Вот, например, система линейных уравнений:

\left\{\begin{matrix}y=2x\\y=6-x\end{matrix}\right.

Решением системы будет пара чисел \left ( x;y \right ), удовлетворяющая и первому, и второму уравнению.

Легко найти, что x=2,\;y=4.

Мы можем также решить эту систему графически: нарисовать графики функций y=2x и y=6-x и найти точку их пересечения M\left ( 2;4 \right ).

Пересечение множеств, знак системы, знак \cap - все это можно описать словами «и то, и другое».

Теперь знак совокупности. Вот такая запись

означает, что x=0 или x = 4. Или то, или другое.

Запоминаем: объединение множеств, знак совокупности, знак \cup символизируют понятие «или то, или другое, или и то, и другое сразу».

Но это не все. Смотрите, как выглядела бы задача по теории вероятностей про наших любителей котов и собак.

Известно, что в группе из 9 человек у четверых есть коты, у пятерых есть собаки, у двоих нет ни кота, ни собаки, а у двоих есть и кот, и собака.

Найдите вероятность следующих событий:

1) У человека из этой группы есть кот,

2) У человека из этой группы есть собака,

3) Есть и кот, и собака

4) Есть кот или собака.

Мы помним, что вероятность события равна отношению числа благоприятных исходов к общему числу исходов.

Вероятность иметь кота для участника группы равна \frac{4}{9} (четверо котовладельцев из 9 человек).

Вероятность быть хозяином собаки равна \frac{5}{9}.

Вероятность иметь и кота, и собаку равна \frac{2}{9} (двое из девяти).

А вот вероятность иметь кота или собаку равна \frac{4}{9}+\frac{5}{9}-\frac{2}{9}=\frac{7}{9}. Действительно, это семеро из девяти.

Почему мы вычитаем \frac{2}{9}? Потому что Дмитрий и Игорь, у которых есть и кот, и собака, входят и в множество владельцев котов, и в множество владельцев собак.

Получается, мы определили вероятность суммы событий (есть кот или собака).

Заметьте, что в нашем случае она не равна сумме вероятностей. Потому что вероятность суммы событий равна сумме вероятностей только для несовместных событий, то есть тех, которые не могут происходить одновременно.

В статье «Теория вероятностей» мы поговорим более подробно о сумме событий (или то, или другое, или оба сразу) и о произведении событий (и то, и другое).

Объединим все, что узнали, в небольшую таблицу.