Анна Малкова
Не пугайтесь. В этой статье не будет непонятных слов: «конъюнкция, дизъюнкция». И не будет сложных схем, как на ЕГЭ по информатике.
Будет только то, что необходимо для успешной сдачи ЕГЭ по математике и вообще для понимания математики.
Покажем на простом примере, что такое объединение множеств и пересечение множеств.
Антон, Борис, Виктория, Дмитрий, Игорь, Костя, Лена, Маша и Наташа – друзья.
У Дмитрия, Игоря, Маши и Наташи есть кот.
У Бориса, Дмитрия, Игоря, Кости и Лены есть собака.
Пусть множество включает тех, у кого есть кот.
Множество включает владельцев собак.
Замети, что Дмитрий и Игорь входят в оба множества – у них есть и кот, и собака.
Антон и Виктория не входят ни в одно. У них нет ни кота, ни собаки.
Схематично это можно изобразить так:
Говорят, что множество, элементами которого являются Дмитрий и Игорь – это пересечение множеств и
. Заметим, что пересечение множеств
и
– это элементы, входящие и во множество
, и во множество
(есть и кот, и собака).
Вот как это обозначается: .
Вспомним, что такой же значок пересечения мы встречали, например, в геометрии. Запись
означает, что прямые
и
пересекаются в точке
. Другими словами, точка
принадлежит и той, и другой прямой.
А те, у кого есть кот или собака, образуют объединение множества и множества
.
Это Маша, Наташа, Дмитрий, Игорь, Борис, Лена и Костя. У них есть кот или собака, или и то, и другое животное.
Обозначается это так: .
Значок объединения нам тоже знаком. Вспомните, как мы записываем ответы в неравенствах.
Запись означает, что
принадлежит интервалу от
до нуля или отрезку от 1 до 2.
Теперь алгебра.
Фигурная скобка – знак системы. Она означает, что должно выполняться и то, и другое условие.
Вот, например, система линейных уравнений:
Решением системы будет пара чисел , удовлетворяющая и первому, и второму уравнению.
Легко найти, что .
Мы можем также решить эту систему графически: нарисовать графики функций и
и найти точку их пересечения
.
Пересечение множеств, знак системы, знак - все это можно описать словами «и то, и другое».
Теперь знак совокупности. Вот такая запись
означает, что или
. Или то, или другое.
Запоминаем: объединение множеств, знак совокупности, знак символизируют понятие «или то, или другое, или и то, и другое сразу».
Но это не все. Смотрите, как выглядела бы задача по теории вероятностей про наших любителей котов и собак.
Известно, что в группе из 9 человек у четверых есть коты, у пятерых есть собаки, у двоих нет ни кота, ни собаки, а у двоих есть и кот, и собака.
Найдите вероятность следующих событий:
1) У человека из этой группы есть кот,
2) У человека из этой группы есть собака,
3) Есть и кот, и собака
4) Есть кот или собака.
Мы помним, что вероятность события равна отношению числа благоприятных исходов к общему числу исходов.
Вероятность иметь кота для участника группы равна (четверо котовладельцев из 9 человек).
Вероятность быть хозяином собаки равна .
Вероятность иметь и кота, и собаку равна (двое из девяти).
А вот вероятность иметь кота или собаку равна . Действительно, это семеро из девяти.
Почему мы вычитаем ? Потому что Дмитрий и Игорь, у которых есть и кот, и собака, входят и в множество владельцев котов, и в множество владельцев собак.
Получается, мы определили вероятность суммы событий (есть кот или собака).
Заметьте, что в нашем случае она не равна сумме вероятностей. Потому что вероятность суммы событий равна сумме вероятностей только для несовместных событий, то есть тех, которые не могут происходить одновременно.
В статье «Теория вероятностей» мы поговорим более подробно о сумме событий (или то, или другое, или оба сразу) и о произведении событий (и то, и другое).
Объединим все, что узнали, в небольшую таблицу.