Основы логики. Система условий, совокупность условий

Анна Малкова

Не пугайтесь. В этой статье не будет непонятных слов: «конъюнкция, дизъюнкция». И не будет сложных схем, как на ЕГЭ по информатике.

Будет только то, что необходимо для успешной сдачи ЕГЭ по математике и вообще для понимания математики.

Покажем на простом примере, что такое объединение множеств и пересечение множеств.

Антон, Борис, Виктория, Дмитрий, Игорь, Костя, Лена, Маша и Наташа – друзья.

У Дмитрия, Игоря, Маши и Наташи есть кот.

У Бориса, Дмитрия, Игоря, Кости и Лены есть собака.

Пусть множество включает тех, у кого есть кот.

Множество включает владельцев собак.

Замети, что Дмитрий и Игорь входят в оба множества – у них есть и кот, и собака.

Антон и Виктория не входят ни в одно. У них нет ни кота, ни собаки.

Схематично это можно изобразить так:

Говорят, что множество, элементами которого являются Дмитрий и Игорь – это пересечение множеств и . Заметим, что пересечение множеств и – это элементы, входящие и во множество , и во множество (есть и кот, и собака).

Вот как это обозначается: .

Вспомним, что такой же значок пересечения мы встречали, например, в геометрии. Запись означает, что прямые и пересекаются в точке . Другими словами, точка принадлежит и той, и другой прямой.

А те, у кого есть кот или собака, образуют объединение множества и множества .

Это Маша, Наташа, Дмитрий, Игорь, Борис, Лена и Костя. У них есть кот или собака, или и то, и другое животное.

Обозначается это так: .

Значок объединения нам тоже знаком. Вспомните, как мы записываем ответы в неравенствах.

Запись означает, что принадлежит интервалу от до нуля или отрезку от 1 до 2.

Теперь алгебра.

Фигурная скобка – знак системы. Она означает, что должно выполняться и то, и другое условие.

Вот, например, система линейных уравнений:

Решением системы будет пара чисел , удовлетворяющая и первому, и второму уравнению.

Легко найти, что .

Мы можем также решить эту систему графически: нарисовать графики функций и и найти точку их пересечения .

Пересечение множеств, знак системы, знак - все это можно описать словами «и то, и другое».

Теперь знак совокупности. Вот такая запись

означает, что или . Или то, или другое.

Запоминаем: объединение множеств, знак совокупности, знак символизируют понятие «или то, или другое, или и то, и другое сразу».

Но это не все. Смотрите, как выглядела бы задача по теории вероятностей про наших любителей котов и собак.

Известно, что в группе из 9 человек у четверых есть коты, у пятерых есть собаки, у двоих нет ни кота, ни собаки, а у двоих есть и кот, и собака.

Найдите вероятность следующих событий:

1) У человека из этой группы есть кот,

2) У человека из этой группы есть собака,

3) Есть и кот, и собака

4) Есть кот или собака.

Мы помним, что вероятность события равна отношению числа благоприятных исходов к общему числу исходов.

Вероятность иметь кота для участника группы равна (четверо котовладельцев из 9 человек).

Вероятность быть хозяином собаки равна .

Вероятность иметь и кота, и собаку равна (двое из девяти).

А вот вероятность иметь кота или собаку равна . Действительно, это семеро из девяти.

Почему мы вычитаем ? Потому что Дмитрий и Игорь, у которых есть и кот, и собака, входят и в множество владельцев котов, и в множество владельцев собак.

Получается, мы определили вероятность суммы событий (есть кот или собака).

Заметьте, что в нашем случае она не равна сумме вероятностей. Потому что вероятность суммы событий равна сумме вероятностей только для несовместных событий, то есть тех, которые не могут происходить одновременно.

В статье «Теория вероятностей» мы поговорим более подробно о сумме событий (или то, или другое, или оба сразу) и о произведении событий (и то, и другое).

Объединим все, что узнали, в небольшую таблицу.