previous arrow
next arrow
Slider

Свойства трапеции: отрезок, соединяющий середины диагоналей

Отрезок, соединяющий середины диагоналей трапеции, равен полуразности оснований.

Пусть точка М – середина диагонали АС, N – середина диагонали ВD, Р и Q – середины боковых сторон АВ и СD.
Тогда РМ – средняя линия треугольника АВС, РМ параллельна ВС. Это значит, что точка М лежит на средней линии РQ трапеции, поскольку через точку Р можно провести на плоскости единственную прямую, параллельную прямой ВС. При этом PM=\frac{BC}{2}.
Аналогично, точка N – середина диагонали BD – также лежит на РQ, то есть на средней линии трапеции, и QN=\frac{BC}{2} . Поскольку  PQ=\frac{AD+BC}{2}, MN=\frac{AD+BC}{2}-PM-QN=\frac{AD+BC}{2}-\frac{BC}{2}-\frac{BC}{2}=\frac{AD-BC}{2}.

Задача ЕГЭ по теме: «Отрезок, соединяющий середины диагоналей трапеции, равен полуразности оснований».

Основания трапеции равны 10 и 6. Найдите отрезок, соединяющий середины диагоналей трапеции.

Проведем PQ – среднюю линию трапеции, PQ = 8. Как мы доказали, отрезок MN, соединяющий середины диагоналей трапеции, лежит на средней линии.
PM – средняя линия треугольника ABC, значит, PM = 3.
NQ – средняя линия треугольника BCD, значит, NQ = 3.

Тогда MN = PQ − PM − NQ = 8 − 3 − 3 = 2
Ответ: 2.