previous arrow
next arrow
Slider

Отрезок АС виден из точек В и М под одинаковым углом…

Анна Малкова

Схема 3. У треугольников АВС и АМС сторона АС – общая, угол В равен углу М, причем точки В и М лежат по одну сторону от прямой АС. Тогда точки А, В, С, М лежат на одной окружности.

В самом деле: по теореме синусов, радиус окружности, описанной вокруг треугольника АВС, равен радиусу окружности, описанной вокруг треугольника АМС и равен \frac{AC}{2sin \varphi}. А это значит, что точки А, В, М и С лежат на одной окружности.

Можно доказать и более общее утверждение: геометрическое место точек М, из которых отрезок АВ виден под данным углом, есть две дуги равных окружностей с общей хордой АВ, без точек А и В.

Задача ЕГЭ (Профильный уровень, №16)

Пусть АВ – хорда окружности с центром О, СВ – касательная к этой окружности, точки А и В лежат по разные стороны от прямой ОС. Радиус окружности ОВ равен 4, AB=2\sqrt{11}, углы ОСВ и ОАВ равны.

а) Докажите, что точка О лежит на окружности Ω, описанной вокруг треугольника АВС.

б) Найдите радиус окружности Ω.

а) По условию, углы ОСВ и ОАВ равны. Отрезок ОВ виден из точек А и С под одинаковыми углами. Это значит, что четырехугольник OACB можно вписать в окружность. Тогда точка О лежит на окружности Ω, описанной вокруг треугольника АВС.

б) Мы доказали, что точка О лежит на окружности Ω, описанной вокруг треугольника АВС. Так как ВС – касательная к окружности, ВС ⊥ ОВ, ∠OBC=90°, значит, OC – диаметр. Тогда ∠OAC=90°, и треугольники ОВС и ОАС равны по гипотенузе и катету: OC – общая, OB=OA, ∠OAC=∠OВC=90°. Радиус окружности Ω равен \frac{1}{2}OC..

Перестроим чертеж. Пусть М – точка пересечения отрезков АВ и ОС.
По условию, ОВ = 4, AB=2\sqrt{11}. Тогда BM=\sqrt{11}. Из прямоугольного треугольника ОВМ по теореме Пифагора найдем OM=\sqrt{5}.

Заметим, что на чертеже есть подобные прямоугольные треугольники: \triangle OMB \sim \triangle OBC по двум углам.

Запишем соотношение сходственных сторон для этих треугольников:
\frac{OM}{OB}=\frac{OB}{OC}.Получим: \frac{\sqrt{5}}{4}=\frac{4}{OC}. Отсюда OC=\frac{16}{\sqrt{5}}. Это диаметр окружности Ω. Радиус в 2 раза меньше: R=\frac{8}{\sqrt{5}}=\frac{8\sqrt{5}}{5}.