previous arrow
next arrow
Slider

Парадокс Монти Холла

Анна Малкова

Один из парадоксов теории вероятностей назван, как ни странно, не в честь ученого, а в честь ведущего телевизионного шоу. Это знаменитый парадокс Монти Холла.

Вот как он формулируется:

Вы - участник игры, в которой вам нужно выбрать одну из трёх дверей. За одной из дверей находится автомобиль за двумя другими дверями — козы. Вы выбираете одну из дверей, например, номер 1.

После этого ведущий, который знает, где находится автомобиль, а где — козы, открывает одну из оставшихся дверей, например, номер 3, за которой находится коза. После этого он спрашивает вас — не хотите ли изменить свой выбор и выбрать дверь номер 2? Увеличатся ли ваши шансы выиграть автомобиль, если вы примете предложение ведущего и измените свой выбор?

Чтобы ведущий не схитрил, сразу оговариваются следующие правила:

  • автомобиль равновероятно размещён за любой из трёх дверей;
  • ведущий в любом случае обязан открыть дверь с козой (но не ту, которую выбрал игрок) и предложить игроку изменить выбор;
  • если у ведущего есть выбор, какую из двух дверей открыть, он выбирает любую из них с одинаковой вероятностью. 

Итак, вы выбрали одну из дверей, но не знаете, что за ней. Возможно, там автомобиль. И если вы, приняв предложение ведущего, измените свой выбор, - вы променяете автомобиль на козу!

А если там коза? Тогда, приняв предложение ведущего, вы выиграете автомобиль! Так менять выбор или не менять? Или шансы останутся такими же?

Вспомним основные принципы теории вероятностей.

Случайным называется событие, которое невозможно точно предсказать заранее. Оно может либо произойти, либо нет. Теория вероятностей изучает случайные события и их закономерности, а также случайные величины и действия над ними.

Благоприятным мы называем исход, способствующий наступлению данного события.

Вероятность события равна отношению числа благоприятных исходов к общему числу исходов.

Очевидно, что вероятность – величина положительная и не может быть больше единицы.

Представьте, что вы – участник игры. С вероятностью \frac{1}{3} вы выбрали дверь, за которой автомобиль. С вероятностью \frac{2}{3} – дверь, за которой коза.

После этого ведущий спрашивает вас, не хотите ли вы поменять свой выбор.

Изобразим возможные исходы. В задачах по теории вероятностей мы часто рисуем такие схемы.

Если вы решили не менять свой выбор – вероятность выиграть автомобиль равна \frac{1}{3}. Вы просто сразу выбрали дверь, за которой автомобиль, с вероятностью \frac{1}{3} (одна благоприятная дверь из трех возможных).

А если вы поменяли свой выбор после того, как ведущий показал вам козу? Тогда вероятность выиграть автомобиль равна \frac{2}{3}.

Все просто. Даже проще, чем в задачах ЕГЭ, которые мы рассматривали

Предложите эту задачу людям, не знающим теории вероятностей. Вы услышите самые разные ответы. Задача потому и называется «парадоксом», что первые пришедшие в голову «интуитивные» решения могут быть неверными.

Больше задач по теории вероятностей здесь:
Задачи по теории вероятности
- а также в бесплатном видеокурсе по теории вероятностей