С периодическими функциями мы встречаемся в школьном курсе алгебры. Это функции, все значения которых повторяются через определенный период. Как будто мы копируем часть графика — и повторяем этот паттерн на всей области определения функции. Например, \(y = sin x, \, y = tg x\) — периодические функции.
Дадим определение периодической функции:
Функция \(y=f(x)\) называется периодической, если существует такое число \(T\), не равное нулю, что для любого \(x\) из ее области определения \(f(x + T) = f(x). \)
Другими словами, это функция, значения которой не изменяются при добавлении к значениям её аргумента некоторого фиксированного ненулевого числа \(T\). Число \(T\) называется периодом функции. Как правило, говоря о периоде, мы имеем в виду наименьший положительный период функции.
Например, \(y = sin x, \, y = cos x, \, y = tg x, \, y = ctg x\) — периодические функции.
Для функций \(y = sin x\) и \(y = cos x\) период \(T = 2\pi\),
Для функций \(tg x \) и \(y = ctg x\) период \(T = \pi. \)
Но не только тригонометрические функции являются периодическими. Если вы учитесь в матклассе или на первом курсе вуза — вам могут встретиться вот такие задачи:
1. Периодическая функция \(y = f\left(x\right)\) определена для всех действительных чисел. Ее период равен двум и \(f(1)=5.\) Найдите значение выражения \(3f(7) - 4 f(-3).\)
Решение:
График функции \( {y = }f\left(x\right)\) может выглядеть, например, вот так:
Отметим точку \(M (1; 5)\), принадлежащую графику функции \({y = }f\left(x\right)\). Поскольку период функции равен \(2\), значения функции в точках \(3, 5, 7\dots 1 + 2k\) будут также равны пяти. Здесь \(k\) — целое число.
Как ведет себя функция \({y = }f\left(x\right)\) в других точках — мы не знаем. Но знаем, что ее график состоит из повторяющихся элементов длиной \(2\), что и нарисовано.
Значения функции \({y = }f\left(x\right)\) в точках \(-3\) и \(7\) равны пяти. Мы получим: \(3f\left(7\right)-4f\left(-3\right)=3\cdot 5-4\cdot 5=-5.\)
2. График четной периодической функции \(y = f\left(x\right)\) совпадает с графиком функции \(z\left(x\right)=2(x-1)^2 \) на отрезке от \(0\) до \(1\); период функции \(y = f\left(x\right)\) равен \(2\). Постройте график функции \(y = f\left(x\right)\) и найдите \(f(4)\).
Решение:
Построим график функции\( z\left(x\right)=2(x-1)^2\) при \(x\in [0; 1].\)
Поскольку функция \(y = { f}\left({ x}\right)\) четная, ее график симметричен относительно оси ординат. Построим часть графика при \(x\in [-1; 0],\) симметричную части графика от \(0\) до \(1\).
Период функции \(y = f\left(x\right)\) равен \(2\). Повторим периодически участок длины \(2\), который уже построен.
Найдем \(f(4):\)
\(f(4)= f (0 + 2\cdot 2) = f(0) = 2. \)
3. Найдите наименьший положительный период функции \(f\left(x\right)={\sin 3x+{\cos 5x}}.\)
Решение:
Наименьший положительный период функции \(y={\sin x}\) равен \(2\pi.\)
График функции \(y=\sin 3x\) получается из графика функции \(y={\sin x}\) сжатием в \(3\) раза по оси \(X\) (смотри тему «Преобразование графиков функций»).
Значит, у функции \(y={\sin 3x}\) частота в \(3\) раза больше, чем у функции \(y={\sin x}\), а наименьший положительный период в \(3\) раза меньше и равен \(\displaystyle \frac{{\rm 2}\pi }{{\rm 3}}\). Значит, на отрезке \(2\pi\) укладывается ровно \(3\) полных волны функции \( y={\sin 3x}.\)
Рассуждая аналогично, получим, что для функции \(y={\cos 5x}\) наименьший положительный период равен \(\displaystyle \frac{{\rm 2}\pi }{{\rm 5}}.\) На отрезке \(2\pi\) укладывается ровно \(5\) полных волн функции \(y={cos 5x}. \)
Числа \(3\) и \(5\) — взаимно простые. Поэтому наименьший положительный период функции \(f\left(x\right)={\sin 3x+{\cos 5x}} \) равен \(2\pi.\)
4. Период функции \(f\left(x\right)\) равен \(12\), а период функции \(g\left(x\right)\) равен \(8\). Найдите наименьший положительный период функции \(z\left(x\right)=f\left(x\right)+g\left(x\right).\)
Решение:
По условию, период функции \(f\left(x\right)\) равен 12. Это значит, что все значения \(f\left(x\right)\) повторяются через \(12\), через \(24, 36, 48, ..., 12n \). Если мы выберем любую точку \(x_0\) на графике функции \( f\left(x\right),\) то через \(12, 36, 48\dots 12n \) значение функции будет такое же, как и в точке \(x_0. \)
Аналогично, все значения функции \(g\left(x\right)\) повторяются через \( 8, 16, 24, 32\dots 8k\). В этих точках значения \(g\left(x\right)\) будут такие же, как и в точке \(x_0.\)
На каком же расстоянии от точки \(x_0\) расположена точка, в которой значение функции \(z\left(x\right)=f\left(x\right)+g\left(x\right)\) такое же, что и в точке \( x_0\)? Очевидно, на расстоянии \(T = 12n = 8k.\) Это значит, что число \(T\) делится и на \(12\), и на \(8\), то есть является их наименьшим общим кратным. Значит, \(T = 24 \).
Наименьший положительный период суммы функций равен наименьшему общему кратному периодов слагаемых.
