previous arrow
next arrow
Slider

Периодические функции

С периодическими функциями мы встречаемся в школьном курсе алгебры. Это функции, все значения которых повторяются через определенный период. Как будто мы копируем часть графика — и повторяем этот паттерн на всей области определения функции. Например, y = sin x, \, y = tg x — периодические функции.

Дадим определение периодической функции:

Функция y=f(x) называется периодической, если существует такое число T, не равное нулю, что для любого x из ее области определения f(x + T) = f(x).

Другими словами, это функция, значения которой не изменяются при добавлении к значениям её аргумента некоторого фиксированного ненулевого числа T. Число T называется периодом функции. Как правило, говоря о периоде, мы имеем в виду наименьший положительный период функции.

Например, y = sin x, \, y = cos x, \, y = tg x, \, y = ctg x — периодические функции.

Для функций y = sin x и y = cos x период T = 2\pi,

Для функций tg x и y = ctg x период T = \pi.

Но не только тригонометрические функции являются периодическими. Если вы учитесь в матклассе или на первом курсе вуза — вам могут встретиться вот такие задачи:

1. Периодическая функция y = f\left(x\right) определена для всех действительных чисел. Ее период равен двум и f(1)=5. Найдите значение выражения 3f(7) - 4 f(-3).

График функции {y = }f\left(x\right) может выглядеть, например, вот так:

Отметим точку М (1; 5), принадлежащую графику функции {y = }f\left(x\right). Поскольку период функции равен 2, значения функции в точках 3, 5, 7\dots 1 + 2k будут также равны пяти. Здесь k — целое число.

Как ведет себя функция {y = }f\left(x\right) в других точках — мы не знаем. Но знаем, что ее график состоит из повторяющихся элементов длиной 2, что и нарисовано.

Значения функции {y = }f\left(x\right) в точках -3 и 7 равны пяти. Мы получим: 3f\left(7\right)4f\left(-3\right)=3\cdot 5-4\cdot 5=-5.

2. График четной периодической функции y = f\left(x\right) совпадает с графиком функции z\left(x\right)=2(x-1)^2 на отрезке от 0 до 1; период функции y = f\left(x\right) равен 2. Постройте график функции y = f\left(x\right) и найдите f(4 ).

Построим график функцииz\left(x\right)=2(x-1)^2 при x\in [0;1].

Поскольку функция y = { f}\left({ x}\right) четная, ее график симметричен относительно оси ординат. Построим часть графика при x\in [-1;0], симметричную части графика от 0 до 1.

Период функции y = f\left(x\right) равен 2. Повторим периодически участок длины 2, который уже построен.

Найдем f(4)

f(4)= f (0 + 2\cdot 2) = f(0) = 2.

3. Найдите наименьший положительный период функции f\left(x\right)={\sin 3x+{\cos 5x}}

Наименьший положительный период функции y={\sin x} равен 2\pi.

График функции y=\sin 3x получается из графика функции y={\sin x} сжатием в 3 раза по оси X (смотри тему «Преобразование графиков функций).

Значит, у функции y={\sin 3x} частота в 3 раза больше, чем у функции y={\sin x}, а наименьший положительный период в 3 раза меньше и равен \frac{{\rm 2}\pi }{{\rm 3}}. Значит, на отрезке 2\pi укладывается ровно 3 полных волны функции y={\sin 3x}.

Рассуждая аналогично, получим, что для функции y={\cos 5x} наименьший положительный период равен \frac{{\rm 2}\pi }{{\rm 5}}. На отрезке 2\pi укладывается ровно 5 полных волн функции y={cos 5x}.

Числа 3 и 5 — взаимно простые. Поэтому наименьший положительный период функции f\left(x\right)={\sin 3x+{\cos 5x}} равен 2\pi.

4. Период функции f\left(x\right) равен 12, а период функции g\left(x\right) равен 8. Найдите наименьший положительный период функции z\left(x\right)=f\left(x\right)+g\left(x\right).

По условию, период функции f\left(x\right) равен 12. Это значит, что все значения f\left(x\right) повторяются через 12, через 24, 36, 48 ... 12n . Если мы выберем любую точку x_0 на графике функции f\left(x\right), то через 12, 36, 48\dots 12n значение функции будет такое же, как и в точке x_0.

Аналогично, все значения функции g\left(x\right) повторяются через 8, 16, 24, 32\dots 8k. В этих точках значения g\left(x\right) будут такие же, как и в точке x_0.

На каком же расстоянии от точки x_0 расположена точка, в которой значение функции z\left(x\right)=f\left(x\right)+g\left(x\right) такое же, что и в точке x_0? Очевидно, на расстоянии T = 12n = 8k. Это значит, что число T делится и на 12, и на 8, то есть является их наименьшим общим кратным. Значит, T = 24 .

Наименьший положительный период суммы функций равен наименьшему общему кратному периодов слагаемых.