Slider

Периодические функции

С периодическими функциями мы встречаемся в школьном курсе алгебры. Это функции, все значения которых повторяются через определенный период. Как будто мы копируем часть графика — и повторяем этот паттерн на всей области определения функции. Например, y = sin x, \, y = tg x — периодические функции.

Дадим определение периодической функции:

Функция y=f(x) называется периодической, если существует такое число T, не равное нулю, что для любого x из ее области определения f(x + T) = f(x).

Другими словами, это функция, значения которой не изменяются при добавлении к значениям её аргумента некоторого фиксированного ненулевого числа T. Число T называется периодом функции. Как правило, говоря о периоде, мы имеем в виду наименьший положительный период функции.

Например, y = sin x, \, y = cos x, \, y = tg x, \, y = ctg x — периодические функции.

Для функций y = sin x и y = cos x период T = 2\pi,

Для функций tg x и y = ctg x период T = \pi.

Но не только тригонометрические функции являются периодическими. Если вы учитесь в матклассе или на первом курсе вуза — вам могут встретиться вот такие задачи:

1. Периодическая функция y = f\left(x\right) определена для всех действительных чисел. Ее период равен двум и f(1)=5. Найдите значение выражения 3f(7) - 4 f(-3).

График функции {y = }f\left(x\right) может выглядеть, например, вот так:

Отметим точку М (1; 5), принадлежащую графику функции {y = }f\left(x\right). Поскольку период функции равен 2, значения функции в точках 3, 5, 7\dots 1 + 2k будут также равны пяти. Здесь k — целое число.

Как ведет себя функция {y = }f\left(x\right) в других точках — мы не знаем. Но знаем, что ее график состоит из повторяющихся элементов длиной 2, что и нарисовано.

Значения функции {y = }f\left(x\right) в точках -3 и 7 равны пяти. Мы получим: 3f\left(7\right)4f\left(-3\right)=3\cdot 5-4\cdot 5=-5.

2. График четной периодической функции y = f\left(x\right) совпадает с графиком функции z\left(x\right)=2(x-1)^2 на отрезке от 0 до 1; период функции y = f\left(x\right) равен 2. Постройте график функции y = f\left(x\right) и найдите f(4 ).

Построим график функцииz\left(x\right)=2(x-1)^2 при x\in [0;1].

Поскольку функция y = { f}\left({ x}\right) четная, ее график симметричен относительно оси ординат. Построим часть графика при x\in [-1;0], симметричную части графика от 0 до 1.

Период функции y = f\left(x\right) равен 2. Повторим периодически участок длины 2, который уже построен.

Найдем f(4)

f(4)= f (0 + 2\cdot 2) = f(0) = 2.

3. Найдите наименьший положительный период функции f\left(x\right)={\sin 3x+{\cos 5x}}

Наименьший положительный период функции y={\sin x} равен 2\pi.

График функции y=\sin 3x получается из графика функции y={\sin x} сжатием в 3 раза по оси X (смотри тему «Преобразование графиков функций).

Значит, у функции y={\sin 3x} частота в 3 раза больше, чем у функции y={\sin x}, а наименьший положительный период в 3 раза меньше и равен \frac{{\rm 2}\pi }{{\rm 3}}. Значит, на отрезке 2\pi укладывается ровно 3 полных волны функции y={\sin 3x}.

Рассуждая аналогично, получим, что для функции y={\cos 5x} наименьший положительный период равен \frac{{\rm 2}\pi }{{\rm 5}}. На отрезке 2\pi укладывается ровно 5 полных волн функции y={cos 5x}.

Числа 3 и 5 — взаимно простые. Поэтому наименьший положительный период функции f\left(x\right)={\sin 3x+{\cos 5x}} равен 2\pi.

4. Период функции f\left(x\right) равен 12, а период функции g\left(x\right) равен 8. Найдите наименьший положительный период функции z\left(x\right)=f\left(x\right)+g\left(x\right).

По условию, период функции f\left(x\right) равен 12. Это значит, что все значения f\left(x\right) повторяются через 12, через 24, 36, 48 ... 12n . Если мы выберем любую точку x_0 на графике функции f\left(x\right), то через 12, 36, 48\dots 12n значение функции будет такое же, как и в точке x_0.

Аналогично, все значения функции g\left(x\right) повторяются через 8, 16, 24, 32\dots 8k. В этих точках значения g\left(x\right) будут такие же, как и в точке x_0.

На каком же расстоянии от точки x_0 расположена точка, в которой значение функции z\left(x\right)=f\left(x\right)+g\left(x\right) такое же, что и в точке x_0? Очевидно, на расстоянии T = 12n = 8k. Это значит, что число T делится и на 12, и на 8, то есть является их наименьшим общим кратным. Значит, T = 24 .

Наименьший положительный период суммы функций равен наименьшему общему кратному периодов слагаемых. 

 

Интенсивная подготовка

Бесплатные пробные ЕГЭ

Расписание курсов

Звоните нам: 8 (800) 775-06-82 (бесплатный звонок по России)
                       +7 (495) 984-09-27 (бесплатный звонок по Москве)

Или нажмите на кнопку «Узнать больше», чтобы заполнить контактную форму. Мы обязательно Вам перезвоним.

НОВЫЙ НАБОР 2020 ЕГЭ И ОГЭ

Типы подготовки:
Сказать спасибо
ege-tv

Полный онлайн-курс подготовки к ЕГЭ по математике. Структурировано. Четко. Без воды. Сдай ЕГЭ на 100 баллов!

Смотреть

Для нормального функционирования и Вашего удобства, сайт использует файлы cookies. Это совершенно обычная практика.Продолжая использовать портал, Вы соглашаетесь с нашей Политикой конфиденциальности.

Позвоните мне

Все поля обязательны для заполнения

Отправить

Премиум

Вся часть 2 на ЕГЭ по математике, от задачи 13 до задачи 19. То, о чем не рассказывают даже ваши репетиторы. Все приемы решения задач части 2. Оформление задач на экзамене. Десятки реальных задач ЕГЭ, от простых до самых сложных.

Видеокурс «Премиум» состоит из 7 курсов  для освоения части 2 ЕГЭ по математике (задачи 13-19). Длительность каждого курса - от 3,5 до 4,5 часов.

  1. Уравнения (задача 13)
  2. Стереометрия (задача 14)
  3. Неравенства (задача 15)
  4. Геометрия (задача 16)
  5. Финансовая математика (задача 17)
  6. Параметры (задача 18)
  7. Нестандартная задача на числа и их свойства (задача 19).

Здесь то, чего нет в учебниках. Чего вам не расскажут в школе. Приемы, методы и секреты решения задач части 2.

Каждая тема разобрана с нуля. Десятки специально подобранных задач, каждая из которых помогает понять «подводные камни» и хитрости решения.  Автор видеокурса Премиум - репетитор-профессионал Анна Малкова.

Получи пятерку

Видеокурс «Получи пятерку» включает все темы, необходимые для успешной сдачи ЕГЭ по математике на 60-65 баллов. Полностью все задачи 1-13 Профильного ЕГЭ по математике. Подходит также для сдачи Базового ЕГЭ по математике. Если вы хотите сдать ЕГЭ на 90-100 баллов, вам надо решать часть 1 за 30 минут и без ошибок!

Курс подготовки к ЕГЭ для 10-11 класса, а также для преподавателей. Все необходимое, чтобы решить часть 1 ЕГЭ по математике (первые 12 задач) и задачу 13 (тригонометрия). А это более 70 баллов на ЕГЭ, и без них не обойтись ни стобалльнику, ни гуманитарию.

Вся необходимая теория. Быстрые способы решения, ловушки и секреты ЕГЭ. Разобраны все актуальные задания части 1 из Банка заданий ФИПИ. Курс полностью соответствует требованиям ЕГЭ-2018.

Курс содержит 5 больших тем, по 2,5 часа каждая. Каждая тема дается с нуля, просто и понятно.

Сотни заданий ЕГЭ. Текстовые задачи и теория вероятностей. Простые и легко запоминаемые алгоритмы решения задач. Геометрия. Теория, справочный материал, разбор всех типов заданий ЕГЭ. Стереометрия. Хитрые приемы решения, полезные шпаргалки, развитие пространственного воображения. Тригонометрия с нуля - до задачи 13. Понимание вместо зубрежки. Наглядное объяснение сложных понятий. Алгебра. Корни, степени и логарифмы, функция и производная. База для решения сложных задач 2 части ЕГЭ.

Сразу после оплаты вы получите ссылки на скачивание видеокурсов и уникальные ключи к ним.

Задачи комплекта «Математические тренинги - 2019» непростые. В каждой – интересные хитрости, «подводные камни», полезные секреты.

Варианты составлены так, чтобы охватить все возможные сложные задачи, как первой, так и второй части ЕГЭ по математике.

Как пользоваться?

  1. Не надо сразу просматривать задачи (и решения) всех вариантов. Такое читерство вам только помешает. Берите по одному! Задачи решайте по однойи старайтесь довести до ответа.
  2. Если почти ничего не получилось – начинать надо не с решения вариантов, а с изучения математики. Вам помогут книга для подготовки к ЕГЭи Годовой Онлайн-курс.
  3. Если вы правильно решили из первого варианта Маттренингов 5-7 задач – значит, знаний не хватает. Смотри пункт 1: Книгаи Годовой Онлайн-курс!
  4. Обязательно разберите правильные решения. Посмотрите видеоразбор – в нем тоже много полезного.
  5. Можно решать самостоятельно или вместе с друзьями. Или всем классом. А потом смотреть видеоразбор варианта.

Стоимость комплекта «Математические тренинги – 2019» - всего 1100 рублей. За 5 вариантов с решениями и видеоразбором каждого.

Это пробная версия онлайн курса по профильной математике.

Вы получите доступ к 3 темам, которые помогут понять принцип обучения, работу платформы и оценить ведущую курса Анну Малкову.

Вы получите:

— 3 темы курса (из 50).
— Текстовый учебник с видеопримерами.
— Мастер-класс Анны Малковой.
— Тренажер для отработки задач.

Регистрируйтесь, это бесплатно!

Нажимая на кнопку, вы даете согласие на обработку своих персональных данных