С периодическими функциями мы встречаемся в школьном курсе алгебры. Это функции, все значения которых повторяются через определенный период. Как будто мы копируем часть графика — и повторяем этот паттерн на всей области определения функции. Например, — периодические функции.
Дадим определение периодической функции:
Функция называется периодической, если существует такое число
, не равное нулю, что для любого
из ее области определения
Другими словами, это функция, значения которой не изменяются при добавлении к значениям её аргумента некоторого фиксированного ненулевого числа . Число
называется периодом функции. Как правило, говоря о периоде, мы имеем в виду наименьший положительный период функции.
Например, — периодические функции.
Для функций и
период
,
Для функций и
период
Но не только тригонометрические функции являются периодическими. Если вы учитесь в матклассе или на первом курсе вуза — вам могут встретиться вот такие задачи:
1. Периодическая функция определена для всех действительных чисел. Ее период равен двум и
Найдите значение выражения
График функции может выглядеть, например, вот так:
Отметим точку М (1; 5), принадлежащую графику функции . Поскольку период функции равен 2, значения функции в точках
будут также равны пяти. Здесь k — целое число.
Как ведет себя функция в других точках — мы не знаем. Но знаем, что ее график состоит из повторяющихся элементов длиной 2, что и нарисовано.
Значения функции в точках -3 и 7 равны пяти. Мы получим:
2. График четной периодической функции совпадает с графиком функции
на отрезке от 0 до 1; период функции
равен 2. Постройте график функции
и найдите f(4 ).
Построим график функции при
Поскольку функция четная, ее график симметричен относительно оси ординат. Построим часть графика при
симметричную части графика от 0 до 1.
Период функции равен 2. Повторим периодически участок длины 2, который уже построен.
Найдем
3. Найдите наименьший положительный период функции
Наименьший положительный период функции равен
График функции получается из графика функции
сжатием в 3 раза по оси X (смотри тему «Преобразование графиков функций).
Значит, у функции частота в 3 раза больше, чем у функции
, а наименьший положительный период в 3 раза меньше и равен
. Значит, на отрезке
укладывается ровно 3 полных волны функции
Рассуждая аналогично, получим, что для функции наименьший положительный период равен
На отрезке
укладывается ровно 5 полных волн функции
Числа 3 и 5 — взаимно простые. Поэтому наименьший положительный период функции равен
.
4. Период функции равен 12, а период функции
равен 8. Найдите наименьший положительный период функции
По условию, период функции равен 12. Это значит, что все значения
повторяются через 12, через
. Если мы выберем любую точку
на графике функции
то через
значение функции будет такое же, как и в точке
Аналогично, все значения функции повторяются через
. В этих точках значения
будут такие же, как и в точке
На каком же расстоянии от точки расположена точка, в которой значение функции
такое же, что и в точке
? Очевидно, на расстоянии
Это значит, что число
делится и на 12, и на 8, то есть является их наименьшим общим кратным. Значит,
.
Наименьший положительный период суммы функций равен наименьшему общему кратному периодов слагаемых.
Спасибо за то, что пользуйтесь нашими публикациями. Информация на странице «Периодические функции» подготовлена нашими авторами специально, чтобы помочь вам в освоении предмета и подготовке к ЕГЭ и ОГЭ. Чтобы успешно сдать необходимые и поступить в высшее учебное заведение или техникум нужно использовать все инструменты: учеба, контрольные, олимпиады, онлайн-лекции, видеоуроки, сборники заданий. Также вы можете воспользоваться другими материалами из данного раздела.
Публикация обновлена: 04.09.2023