Периодические функции

С периодическими функциями мы встречаемся в школьном курсе алгебры. Это функции, все значения которых повторяются через определенный период. Как будто мы копируем часть графика — и повторяем этот паттерн на всей области определения функции. Например, $y = sin x, \, y = tg x$ — периодические функции.

Дадим определение периодической функции:

Функция $y=f(x)$ называется периодической, если существует такое число $T$ , не равное нулю, что для любого $x$ из ее области определения $f(x + T) = f(x).$

Другими словами, это функция, значения которой не изменяются при добавлении к значениям её аргумента некоторого фиксированного ненулевого числа $T$ . Число $T$ называется периодом функции. Как правило, говоря о периоде, мы имеем в виду наименьший положительный период функции.

Например, $y = sin x, \, y = cos x, \, y = tg x, \, y = ctg x$ — периодические функции.

Для функций $y = sin x$ и $y = cos x$ период $T = 2\pi$ ,

Для функций $tg x$ и $y = ctg x$ период $T = \pi.$

Но не только тригонометрические функции являются периодическими. Если вы учитесь в матклассе или на первом курсе вуза — вам могут встретиться вот такие задачи:

1. Периодическая функция $y = f\left(x\right)$ определена для всех действительных чисел. Ее период равен двум и $f(1)=5.$ Найдите значение выражения $3f(7) - 4 f(-3).$

График функции ${y = }f\left(x\right)$ может выглядеть, например, вот так:

Отметим точку М (1; 5), принадлежащую графику функции ${y = }f\left(x\right)$ . Поскольку период функции равен 2, значения функции в точках $3, 5, 7\dots 1 + 2k$ будут также равны пяти. Здесь k — целое число.

Как ведет себя функция ${y = }f\left(x\right)$ в других точках — мы не знаем. Но знаем, что ее график состоит из повторяющихся элементов длиной 2, что и нарисовано.

Значения функции ${y = }f\left(x\right)$ в точках -3 и 7 равны пяти. Мы получим: $3f\left(7\right)4f\left(-3\right)=3\cdot 5-4\cdot 5=-5.$

2. График четной периодической функции $y = f\left(x\right)$ совпадает с графиком функции $z\left(x\right)=2(x-1)^2$ на отрезке от 0 до 1; период функции $y = f\left(x\right)$ равен 2. Постройте график функции $y = f\left(x\right)$ и найдите f(4 ).

Построим график функции $z\left(x\right)=2(x-1)^2$ при $x\in [0;1].$

Поскольку функция $y = { f}\left({ x}\right)$ четная, ее график симметричен относительно оси ординат. Построим часть графика при $x\in [-1;0],$ симметричную части графика от 0 до 1.

Период функции $y = f\left(x\right)$ равен 2. Повторим периодически участок длины 2, который уже построен.

Найдем $f(4)$

$f(4)= f (0 + 2\cdot 2) = f(0) = 2.$

3. Найдите наименьший положительный период функции $f\left(x\right)={\sin 3x+{\cos 5x}}$

Наименьший положительный период функции $y={\sin x}$ равен $2\pi.$

График функции $y=\sin 3x$ получается из графика функции $y={\sin x}$ сжатием в 3 раза по оси X (смотри тему «Преобразование графиков функций).

Значит, у функции $y={\sin 3x}$ частота в 3 раза больше, чем у функции $y={\sin x}$ , а наименьший положительный период в 3 раза меньше и равен $\frac{{\rm 2}\pi }{{\rm 3}}$ . Значит, на отрезке $2\pi$ укладывается ровно 3 полных волны функции $y={\sin 3x}.$

Рассуждая аналогично, получим, что для функции $y={\cos 5x}$ наименьший положительный период равен $\frac{{\rm 2}\pi }{{\rm 5}}.$ На отрезке $2\pi$ укладывается ровно 5 полных волн функции $y={cos 5x}.$

Числа 3 и 5 — взаимно простые. Поэтому наименьший положительный период функции $f\left(x\right)={\sin 3x+{\cos 5x}}$ равен $2\pi$ .

4. Период функции $f\left(x\right)$ равен 12, а период функции $g\left(x\right)$ равен 8. Найдите наименьший положительный период функции $z\left(x\right)=f\left(x\right)+g\left(x\right).$

По условию, период функции $f\left(x\right)$ равен 12. Это значит, что все значения $f\left(x\right)$ повторяются через 12, через $24, 36, 48 ... 12n$ . Если мы выберем любую точку $x_0$ на графике функции $f\left(x\right),$ то через $12, 36, 48\dots 12n$ значение функции будет такое же, как и в точке $x_0.$

Аналогично, все значения функции $g\left(x\right)$ повторяются через $8, 16, 24, 32\dots 8k$ . В этих точках значения $g\left(x\right)$ будут такие же, как и в точке $x_0.$

На каком же расстоянии от точки $x_0$ расположена точка, в которой значение функции $z\left(x\right)=f\left(x\right)+g\left(x\right)$ такое же, что и в точке $x_0$ ? Очевидно, на расстоянии $T = 12n = 8k.$ Это значит, что число $T$ делится и на 12, и на 8, то есть является их наименьшим общим кратным. Значит, $T = 24$ .

Наименьший положительный период суммы функций равен наименьшему общему кратному периодов слагаемых.

Спасибо за то, что пользуйтесь нашими материалами. Информация на странице «Периодические функции» подготовлена нашими редакторами специально, чтобы помочь вам в освоении предмета и подготовке к экзаменам. Чтобы успешно сдать нужные и поступить в высшее учебное заведение или техникум нужно использовать все инструменты: учеба, контрольные, олимпиады, онлайн-лекции, видеоуроки, сборники заданий. Также вы можете воспользоваться другими статьями из данного раздела.

Публикация обновлена: 08.03.2023

Это полезно