previous arrow
next arrow
Slider

Площадь выпуклого четырехугольника

Площадь выпуклого четырехугольника равна половине произведения диагоналей на синус угла между ними.

Дан четырехугольник ABCD с диагоналями AC и BC, AC\cap BD=O.
Докажем, что его площадь S_{ABCD}=\frac{1}{2}AC \cdot BD \cdot sin \angle BOA.
Напомним, что в качестве угла между прямыми мы берем острый угол.

Четырехугольник ABCD разобьем на четыре треугольника (AOD,COD,BOC,BOA).
Площадь треугольника равна половине произведения сторон на синус угла между ними. Обозначим для удобства равные вертикальные углы \angle BOA = \angle COD = \alpha, \angle BOC = \angle AOD = \beta.
Тогда площади треугольников

S_{\triangle BOA}=\frac{1}{2}BO \cdot AO \cdot \sin \alpha
S_{\triangle BOC}=\frac{1}{2}BO \cdot OC \cdot \sin \beta
S_{\triangle OCD}=\frac{1}{2}CO \cdot OD \cdot \sin \alpha
S_{\triangle AOD}=\frac{1}{2}AO \cdot OD \cdot \sin \beta

Площадь четырехугольника ABCD равна сумме площадей треугольников, на которые он разбивается диагоналями
S_{ABCD}=S_{\triangle BOA}+S_{\triangle BOC}+S_{\triangle OCD}+S_{\triangle AOD}
S_{ABCD}=\frac{1}{2}sin \alpha \left ( AO \cdot BO+OC \cdot OD \right )+\frac{1}{2}sin \beta \left ( CO \cdot BO +AO \cdot OD \right )

Так как \alpha + \beta = 180 ^{\circ} , sin \alpha = sin \beta.
S_{ABCD}=\frac{1}{2}sin \alpha \left ( AO \cdot BO+OC \cdot OD+CO \cdot BO+AP \cdot OD \right )
S_{ABCD}=\frac{1}{2}sin \alpha \left ( AO \cdot \left ( BO+OD \right )+OC \cdot \left ( OD+BO \right ) \right )
S_{ABCD}=\frac{1}{2}sin \alpha \left ( AO+OC \right )\left ( BO+OD \right )
S_{ABCD}=\frac{1}{2} BD \cdot AC \cdot AO\cdot OD

Полезное следствие.
Площадь ромба равна половине произведения его диагоналей.

Диагонали ромба перпендикулярны, угол между ними равен 90 ^{\circ}, sin90 ^{\circ} =1.

Для ромба ABCD:

S_{ABCD}=\frac{1}{2} BD \cdot AC