Часть 1. Задания с кратким ответом
1. Анна Малкова Лечение одного зуба в стоматологии «Скалозуб» стоит 3520 рублей. На лечение второго зуба стоматология дает скидку в 10%, а на лечение третьего зуба в 40% от первоначальной стоимости. Сколько заплатит Маша за лечение трех зубов сразу, если решится на такой поступок? Ответ выразите в рублях.
2. В ходе химической реакции количество исходного вещества (реагента), которое еще не вступило в реакцию, со временем постепенно уменьшается. На рисунке эта зависимость представлена графиком. На оси абсцисс откладывается время в минутах, прошедшее с момента начала реакции, на оси ординат – масса оставшегося реагента, который еще не вступил в реакцию (в граммах). Определите по графику, сколько граммов реагента вступило в реакцию за три минуты?
3. На клетчатой бумаге нарисован треугольник \(ABC\). Найдите величину угла \(A\). Ответ выразите в градусах.
4. За наблюдаемый период на 90% всех дней приходилась ясная погода. Гидрометцентр в тот же период предсказывал верную погоду в 74 случаях из 100, причем в 80% всех случаев, когда на день приходилась ясная погода, предсказания Гидрометцентра сбывались. Сколько процентов среди пасмурных дней составляют те, в которых Гидрометцентр предсказал правильную погоду?
5. Решите уравнение: \(log_{81}3^{2x-6}=2.\)
6. Анна Малкова К окружности радиуса 1,2, вписанной в треугольник \(ABC\), проведены касательные, причем длины отрезков \(ND = 1,5; \; EF = 2,5; \; MK = 1.\)
Найдите площадь шестиугольника \(NDEFKM.\)
7. На рисунке изображен график функции \(y=f(x).\)Найдите количество решений уравнения \(f'(x)=0\) на отрезке \([-2,5; 9,5].\)
8. Найдите объем прямой треугольной призмы \(AOBA_1O_1B_1\), вписанной в цилиндр с высотой 4 и радиусом основания 3, если синус угла \(AOB\) равен \(\displaystyle\frac{7}{8}\).
9. Вычислите: \(\sqrt{2}(sin75^{\circ}-cos75^{\circ}).\)
10. Деталью некоторого прибора является квадратная рамка с намотанным на неё проводом, через который пропущен постоянный ток. Рамка помещена в однородное магнитное поле так, что она может вращаться. Момент силы Ампера, стремящейся повернуть рамку, (в Нм) определяется формулой \(M=NIBl^2sin\alpha\), где \(l=2A\) – сила тока в рамке, \(B=3\cdot10^{-3}\) – значение индукции магнитного поля, \(l=0,5\) м – размер рамки, \(N=1000\) – число витков провода в рамке, \(\alpha\) – острый угол между перпендикуляром к рамке и вектором индукции. При каком наименьшем значении угла \(\alpha\) (в градусах) рамка может начать вращаться, если для этого нужно, чтобы раскручивающий момент \(M\) был не меньше 0,75 Нм?
11. Велосипедист проехал 25 км. При этом один час он ехал по ровной дороге, а один час – в гору. Найдите скорость (в км/ч) велосипедиста на ровной дороге, если каждый километр по ровной дороге он проезжал на 2 минуты быстрее, чем в гору.
12. Анна Малкова Найдите наибольшее значение функции \(y=8-16sin^2\frac{x}{3}\) на отрезке \(\left[\displaystyle \frac{\pi}{2};\pi \right ]\).
Часть 2. Задания с развернутым ответом
13. a) Решите уравнение: \(cos7x+cos3x+2sin^2 x=1.\)
б) Найдите все корни уравнения на отрезке \(\left[0; \displaystyle \frac{\pi}{2} \right ]\).
14. В правильной четырехугольной пирамиде \(MABCD\) известна сторона квадрата \(ABCD\), лежащего в основании, - она равна 6. Противоположные боковые грани пирамиды попарно перпендикулярны. Через середины ребер \(MA\) и \(MB\) проведена плоскость \(\alpha \), параллельная ребру \(MC\).
а) Докажите, что сечение треугольной пирамиды \(MABC\) плоскостью \(\alpha \) является параллелограммом.
б) Найдите площадь сечения пирамиды \(MABC\) плоскостью \(\alpha \).
15. Решите неравенство: \(log_{2}^{2}(-log_2x)+2log_2\, log_{2}^{2}x\leq5.\)
16. Дмитрий Мухин На стороне \(BC\) параллелограмма \(ABCD\) выбрали точку \(M\), а на стороне \(CD\) выбрали точку \(N\) так, что \(BM:MC=DN:NC=2:1\).
а) Докажите, что площадь четырехугольника \(AMCN\) втрое меньше площади параллелограмма \(ABCD\).
б) Найдите площадь параллелограмма, если \(BM=8, \, MN=3, \, NC=2\).
17. Анна Малкова Согласно официальным данным, с 2021 года налог на проценты по вкладам свыше 1 миллиона рублей составит 13% годовых. Уточняется, что налогом будет облагаться не вся сумма вклада, а только проценты по вкладу. Предполагая, что налог на проценты по вкладу будет взиматься ежегодно сразу после начисления процентов, найдите величину налога на проценты, которая будет уплачена по вкладу на сумму 4 миллиона рублей, помещенную в 2021 году в Сбербанк сроком на 2 года под 5% годовых. Ответ выразите в рублях.
18. Найдите все значения параметра а, при каждом из которых уравнение имеет ровно два решения: \(x^3-9x^2+a(a-108)tgx+108=a.\)
19. Известно, что \(a, b, c\) и \(d\) – попарно различные положительные двузначные числа.
а) Может ли выполняться равенство \(\displaystyle \frac{a+c}{b+d}=\frac{8}{25}\)?
б) Может ли дробь \(\displaystyle \frac{a+c}{b+d}\) быть в 11 раз меньше, чем значение выражения \(\displaystyle \frac{a}{b}+\frac{c}{d}\)?
в) Какое наименьшее значение может принимать дробь \(\displaystyle \frac{a+c}{b+d}\), если \(a> 5b\) и \(c> 6d\)?
1. ЕГЭ-Студия приглашает составителей задач в формате ЕГЭ. Работа оплачивается.
2. ВНИМАНИЕ преподавателям и владельцам образовательных сайтов. Мы настоятельно просим вас НЕ ВЫКЛАДЫВАТЬ в интернет условия и тем более решения задач. Мы хотим, чтобы участники имели возможность честно решить задачи.
