previous arrow
next arrow
Slider

Радиус окружности, вписанной в прямоугольный треугольник с катетами а и b и гипотенузой с, равен \frac{1}{2}(a+b-c)

Анна Малкова

Рассмотрим прямоугольный треугольник ABC (угол C – прямой), в который вписана окружность с центром в точке O и радиусом r. Катеты AC=b,BC=a, гипотенуза AB=c. Надо доказать, что r=\frac{a+b-c}{2}.

Вспомним, что отрезки касательных к окружности, проведенные из одной точки, равны.
Проведем OM \perp a, ON \perp b, OP \perp c.
Смежные стороны четырехугольника CMON равны (ON=OM=r), все углы прямые \left ( \angle C = \angle N = \angle M = 90 ^{\circ} \right ), значит, CMON – квадрат.

Тогда NC=CM=r, AN=AP=b-r (по свойству длин отрезков касательных); аналогично BM=BP=a-r.
Поскольку АВ = АР + ВР, получим:
c=b-r+a-r, отсюда
r=\frac{a+b-c}{2}.

Задача ЕГЭ по теме «Радиус окружности, вписанной в прямоугольный треугольник»

Катеты равнобедренного прямоугольного треугольника равны 82+41 \sqrt{2}. Найдите радиус окружности, вписанной в этот треугольник.

Радиус окружности, вписанной в прямоугольный треугольник: r=\frac{a+b-c}{2}. Гипотенуза равнобедренного прямоугольного треугольника в \sqrt{2} раз больше катета. Получим:

r=\frac{a+b-c}{2}=\frac{2(82+41\sqrt{2})-\sqrt{2}(82+41\sqrt{2})}{2}=

=\frac{164+82\sqrt{2}-82\sqrt{2}-82}{2}=\frac{82}{2}=41

Ответ: 41.