previous arrow
next arrow
Slider

Решение домашнего задания от 20 мая

1.  Найдите все значения a, при каждом из которых уравнение

(3|x|+x-a)^2=18x^2+2(x-a)^2

имеет единственное решение на интервале (-1;1)

Решение:

Возведём выражение в левой части уравнения в квадрат

9x^2+6|x|\cdot(x-a)+(x-a)^2=18x^2+2(x-a)^2

9x^2-6|x|(x-a)+(x-a)^2=0

Заметим, что выражение в левой части уравнения является полным квадратом

(3|x|-x+a)^2=0;

3|x|-x+a=0

3|x|=x-a

Найдём, при каких a уравнение имеет единственное решение при x\in(-1;1)

1) Уравнение 3|x|=x-a имеет единственное решение на интервале (-1;1), если a=0.

2) Если a\ne 0, то решение единственное, если график функции f(x)=x-a проходит выше точки A и ниже точки B на рисунке.

В точке A правая ветвь графика функции g(x)=3|x| пересекает прямую x=1;

A(1;3), при этом a=-2

В точке B левая ветвь графика функции g(x)=3|x| пересекает прямую x=-1, a=-4.

Ответ: a\in(-4;-2)\cup{0}

2. Найдите все значения параметра a, при каждом из которых уравнение

|(x-1)^2-2^{1-a}|+|x-1|+(1-x)^2+2^{a-1}=4+4^a

имеет единственное решение. Найдите это решение для каждого значения a.

Решение:

|(x-1)^2-2^{1-a}|+|x-1|=(1-x)^2+2^{a-1}=4+4^a

Сделаем замену |x-1|=t, t\geq0

Уравнение примет вид:

|t^2-2^{1-a}|+t+t^2+2^{a-1}=4+4^a (*)

Если t=0, уравнение |x-1|=t имеет ровно одно решение x=1.

Если t \textgreater 0, уравнение |x-1|=t имеет ровно два различных решения.

Исходное уравнение может иметь единственный корень, только если t=0. Подставив t=0 в уравнение (*), получим:

2^{1-a}+2^{a-1}=4+4^2

\frac{2}{2^a}+\frac{2^a}{2}=4+4^a

\frac{4+4^a}{2\cdot2^a}=4+4^a

(4+4^2)\cdot(\frac{1}{2^{a+1}}-1)=0

Так как 4+4^a\ne0, получаем:

\frac{1}{2^{a+1}}=1, отсюда 2^{a+1}=1, a=-1.

Подставим a=-1 в уравнение (*)

|t^2-4|+t+t^2+\frac{1}{4}=4+\frac{1}{4}

|t^2-4|+t+t^2=4

|t^2-4|+t=4-t^2

1) пусть t^2-4\geq0. Тогда |t^2-4|=t^2-4

2t^2+t-8=0

t=\frac{-1\pm\sqrt{1+64}}{4}; t_1=\frac{-1-\sqrt{65}}{4},

t_2=\frac{-1+\sqrt{65}}{4}

Ни один из этих корней не удовлетворяет условию t^2-4\geq0
2) Пусть t^2-4\textless0, тогда |t^2-4|=4-t^2,

уравнение примет вид: t=0. Тогда x=1, условие задачи выволнено.

Ответ: a=-1, x=1.

3. Найдите все значения параметра a, при каждом из которых система уравнений

\left\{\begin{matrix} x^2+y^2=a^2,\\xy=a^2-3a \end{matrix}\right.

имеет ровно два различных решения?

Решение:

\left\{\begin{matrix} x^2+y^2=a^2\\ 2xy=2a^2-6a \end{matrix}\right.

\left\{\begin{matrix} x^2+2xy+y^2=3a^2-6a\\ x^2-2xy+y^2=6a-a^2 \end{matrix}\right.

\left\{\begin{matrix} (x+y)^2=3a^2-6a\\ (x-y)^2=6a-a^2 \end{matrix}\right.

Заметим, что 3a^2-3a\geq0 и 3a-a^2\geq0.

\left\{\begin{matrix} \left[ \begin{array}{ccc} x+y=\sqrt{3a^2-6a} \\ x+y=-\sqrt{3a^2-6a} \\ \end{array} \right. \\ \\\left[ \begin{array}{ccc} x-y=\sqrt{6a-a^2}\\ x-y=-\sqrt{6a-a^2} \\ \end{array} \right. \end{matrix}\right. ;\: \left\{\begin{matrix} \left[ \begin{array}{ccc} y=-x+\sqrt{3a^2-6a} \\ y=-x-\sqrt{3a^2-6a} \\ \end{array} \right. \\ \\\left[ \begin{array}{ccc} y=x-\sqrt{6a-a^2}\\ y=x+\sqrt{6a-a^2} \\ \end{array} \right. \end{matrix}\right.

Обозначив \sqrt{3a^2-6a}=b, b\geq0 и \sqrt{6a-a^2}=c, c\geq0, получим систему:

\left\{\begin{matrix} \left[ \begin{array}{ccc} y=-x+b \\ y=-x-b \\ \end{array} \right. \\ \\\left[ \begin{array}{ccc} y=x-c\\ y=x+c \\ \end{array} \right. \end{matrix}\right.

В общем случае эта система задаёт две пары параллельных прямых.

Система имеет ровно 2 решения, если b=0 или c=0.

Если \left\{\begin{matrix} b=0\\c=0 \end{matrix}\right., то система имеет единственное решение. Получим:

\left[ \begin{array}{ccc} 3a^2-6a=0\\ 6a-a^2=0 \\ \end{array} \right.

при этом a\ne0.

Значит, a=2 или a=6.

 

4. Найти все a, при которых минимум функции f(x)=3|x-a|+|x^2+x-2| меньше 2.

Решение:

Рассмотрим функцию f(x). Если минимум функции f(x) меньше 2, это значит, что хотя бы в одной точке значение функции f(x) меньше двух. Другими словами, неравенство f(x)<2 имеет хотя бы одно решение. Рассмотрим это неравенство.

3|x-a|+|x^2+x-2| <0

3|x-a|+|x^2+x-2| <2

|x^2+x-2| < 2-3|x-a|

Пусть g(x)=|x^2+x-2|, h(x)=2-3|x-a|

Построим графики функций g(x) и h(x).

Заметим, что график g(x) неподвижен, а график h(x) может перемещаться вдоль оси X в зависимости от параметра a.

Неравенство имеет хотя бы одно решение, если хотя бы одна точка графика функции g(x) расположена ниже графика функции h(x).
Это происходит в следующих случаях:

1) График h(x) расположен правее точки B, в которой правая ветвь графика h(x) касается графика g(x) и левее точки D, в которой график функции g(x) пересекает прямую y=2.

2) График h(x) расположен правее точки C, в которой g(x)=2, и левее точки A - точки касания.

Найдем абсциссы точек С и D и значения параметра а для этих точек.

В точках C и D: g(x)=2, |x^2+x-2|=2. Эти точки лежат на отрезке [-2; 1], поэтому -x^2-x+2=2.

Для точки D: x=-1.

Подставив x=-1 и y=2 в формулу функции h(x)=2-3|x-a|, получим, что для точки D a=-1.

Аналогично, для точки С получаем: x=0, a=0.

Для точки B найдём значение параметра a из условий касания.
Для этой точки |x^2+x-2|=x^2+x-2, в формуле функции g(x) модуль раскрываем со знаком «плюс».

Кроме того, точка В лежит на таком участке графика функции h(x), где h(x)=2-3(x-a).

Запишем условия касания:

        \begin{cases}        g(x)=kx+b \\        g

        \begin{cases}        x^2+x-2=2-3x+3a \\        2x+1=-3        \end{cases}

Отсюда x_B = -2, a=-\frac{8}{3}

Аналогично, точка А лежит на участке графика функции h(x), где h(x)=3(x-a)-2.

Для точки А получим:

        \begin{cases}        x^2+x-2=3x-3a-2, \\        2x=3;        \end{cases} \\            x_A = \frac{3}{2}

Значение параметра a=\frac{5}{8}

Объединив случаи, получим ответ.

Ответ: a \in \left(-\frac{8}{3};-1\right) \cup \left(0;\frac{5}{3}\right)