1. Найдите все значения a, при каждом из которых уравнение
\((3|x|+x-a)^2=18x^2+2(x-a)^2 \)
имеет единственное решение на интервале \((-1;1)\)
Решение:
Возведём выражение в левой части уравнения в квадрат
\(9x^2+6|x|\cdot(x-a)+(x-a)^2=18x^2+2(x-a)^2\)
\(9x^2-6|x|(x-a)+(x-a)^2=0\)
Заметим, что выражение в левой части уравнения является полным квадратом
\((3|x|-x+a)^2=0;\)
\(3|x|-x+a=0\)
\(3|x|=x-a\)
Найдём, при каких a уравнение имеет единственное решение при \(x\in(-1;1)\)
1) Уравнение \(3|x|=x-a\) имеет единственное решение на интервале \((-1;1),\) если \(a=0.\)
2) Если \(a\ne 0,\) то решение единственное, если график функции \(f(x)=x-a\) проходит выше точки A и ниже точки B на рисунке.
В точке A правая ветвь графика функции \(g(x)=3|x|\) пересекает прямую \(x=1;\)
\(A(1;3),\) при этом \(a=-2\)
В точке B левая ветвь графика функции \(g(x)=3|x|\) пересекает прямую \(x=-1, a=-4.\)
Ответ: \(a\in(-4;-2)\cup{0}\)
2. Найдите все значения параметра a, при каждом из которых уравнение
\(|(x-1)^2-2^{1-a}|+|x-1|+(1-x)^2+2^{a-1}=4+4^a\)
имеет единственное решение. Найдите это решение для каждого значения a.
Решение:
\(|(x-1)^2-2^{1-a}|+|x-1|=(1-x)^2+2^{a-1}=4+4^a\)
Сделаем замену \(|x-1|=t, t\geq0\)
Уравнение примет вид:
\(|t^2-2^{1-a}|+t+t^2+2^{a-1}=4+4^a\) (*)
Если \(t=0,\) уравнение \(|x-1|=t\) имеет ровно одно решение \(x=1.\)
Если \(t \textgreater 0,\) уравнение \(|x-1|=t\) имеет ровно два различных решения.
Исходное уравнение может иметь единственный корень, только если \(t=0.\) Подставив \(t=0\) в уравнение (*), получим:
\(2^{1-a}+2^{a-1}=4+4^2\)
\(\frac{2}{2^a}+\frac{2^a}{2}=4+4^a\)
\(\frac{4+4^a}{2\cdot2^a}=4+4^a\)
\((4+4^2)\cdot(\frac{1}{2^{a+1}}-1)=0\)
Так как \(4+4^a\ne0,\) получаем:
\(\frac{1}{2^{a+1}}=1,\) отсюда \(2^{a+1}=1, a=-1.\)
Подставим \(a=-1\) в уравнение (*)
\(|t^2-4|+t+t^2+\frac{1}{4}=4+\frac{1}{4}\)
\(|t^2-4|+t+t^2=4\)
\(|t^2-4|+t=4-t^2\)
1) пусть \(t^2-4\geq0.\) Тогда \(|t^2-4|=t^2-4\)
\(2t^2+t-8=0\)
\(t=\frac{-1\pm\sqrt{1+64}}{4};\) \(t_1=\frac{-1-\sqrt{65}}{4},\)
\(t_2=\frac{-1+\sqrt{65}}{4}\)
Ни один из этих корней не удовлетворяет условию \(t^2-4\geq0\)
2) Пусть \(t^2-4\textless0,\) тогда \(|t^2-4|=4-t^2,\)
уравнение примет вид: \(t=0.\) Тогда \(x=1,\) условие задачи выволнено.
Ответ: \(a=-1, x=1.\)
3. Найдите все значения параметра a, при каждом из которых система уравнений
\(\left\{\begin{matrix} x^2+y^2=a^2,\\xy=a^2-3a \end{matrix}\right.\)
имеет ровно два различных решения?
Решение:
\(\left\{\begin{matrix} x^2+y^2=a^2\\ 2xy=2a^2-6a \end{matrix}\right.\)
\(\left\{\begin{matrix} x^2+2xy+y^2=3a^2-6a\\ x^2-2xy+y^2=6a-a^2 \end{matrix}\right.\)
\(\left\{\begin{matrix} (x+y)^2=3a^2-6a\\ (x-y)^2=6a-a^2 \end{matrix}\right.\)
Заметим, что \(3a^2-3a\geq0\) и \(3a-a^2\geq0.\)
\(\left\{\begin{matrix} \left[ \begin{array}{ccc} x+y=\sqrt{3a^2-6a} \\ x+y=-\sqrt{3a^2-6a} \\ \end{array} \right. \\ \\\left[ \begin{array}{ccc} x-y=\sqrt{6a-a^2}\\ x-y=-\sqrt{6a-a^2} \\ \end{array} \right. \end{matrix}\right. ;\: \left\{\begin{matrix} \left[ \begin{array}{ccc} y=-x+\sqrt{3a^2-6a} \\ y=-x-\sqrt{3a^2-6a} \\ \end{array} \right. \\ \\\left[ \begin{array}{ccc} y=x-\sqrt{6a-a^2}\\ y=x+\sqrt{6a-a^2} \\ \end{array} \right. \end{matrix}\right.\)
Обозначив \(\sqrt{3a^2-6a}=b,\) \(b\geq0\) и \(\sqrt{6a-a^2}=c,\) \(c\geq0,\) получим систему:
\(\left\{\begin{matrix} \left[ \begin{array}{ccc} y=-x+b \\ y=-x-b \\ \end{array} \right. \\ \\\left[ \begin{array}{ccc} y=x-c\\ y=x+c \\ \end{array} \right. \end{matrix}\right.\)
В общем случае эта система задаёт две пары параллельных прямых.
Система имеет ровно 2 решения, если \(b=0\) или \(c=0.\)
Если \(\left\{\begin{matrix} b=0\\c=0 \end{matrix}\right.\), то система имеет единственное решение. Получим:
\(\left[ \begin{array}{ccc} 3a^2-6a=0\\ 6a-a^2=0 \\ \end{array} \right.\)
при этом \(a\ne0.\)
Значит, \(a=2\) или \(a=6.\)
4. Найти все a, при которых минимум функции \(f(x)=3|x-a|+|x^2+x-2|\) меньше 2.
Решение:
Рассмотрим функцию \(f(x).\) Если минимум функции \(f(x)\) меньше 2, это значит, что хотя бы в одной точке значение функции \(f(x)\) меньше двух. Другими словами, неравенство \(f(x)<2\) имеет хотя бы одно решение. Рассмотрим это неравенство.
\(3|x-a|+|x^2+x-2| <0 \)
\(3|x-a|+|x^2+x-2| <2 \)
\(|x^2+x-2| < 2-3|x-a| \)
Пусть \(g(x)=|x^2+x-2|, h(x)=2-3|x-a|\)
Построим графики функций \(g(x)\) и \(h(x).\)
Заметим, что график \(g(x)\) неподвижен, а график \(h(x)\) может перемещаться вдоль оси X в зависимости от параметра a.
Неравенство имеет хотя бы одно решение, если хотя бы одна точка графика функции \(g(x)\) расположена ниже графика функции \(h(x).\)
Это происходит в следующих случаях:
1) График \(h(x)\) расположен правее точки B, в которой правая ветвь графика \(h(x)\) касается графика \(g(x)\) и левее точки D, в которой график функции \(g(x)\) пересекает прямую \(y=2.\)
2) График \(h(x)\) расположен правее точки C, в которой \(g(x)=2\), и левее точки A - точки касания.
Найдем абсциссы точек С и D и значения параметра а для этих точек.
В точках C и D: \(g(x)=2, |x^2+x-2|=2.\) Эти точки лежат на отрезке [-2; 1], поэтому \(-x^2-x+2=2.\)
Для точки \(D: x=-1.\)
Подставив \(x=-1\) и \(y=2\) в формулу функции \(h(x)=2-3|x-a|,\) получим, что для точки \(D\) \(a=-1.\)
Аналогично, для точки С получаем: \(x=0, a=0. \)
Для точки B найдём значение параметра a из условий касания.
Для этой точки \(|x^2+x-2|=x^2+x-2,\) в формуле функции \(g(x)\) модуль раскрываем со знаком «плюс».
Кроме того, точка В лежит на таком участке графика функции \(h(x),\) где \(h(x)=2-3(x-a).\)
Запишем условия касания:
\(
\begin{cases}
g(x)=kx+b \\
g'(x)=k
\end{cases}
\)
\(
\begin{cases}
x^2+x-2=2-3x+3a \\
2x+1=-3
\end{cases}
\)
Отсюда \(x_B = -2, a=-\frac{8}{3}\)
Аналогично, точка А лежит на участке графика функции \(h(x),\) где \(h(x)=3(x-a)-2.\)
Для точки А получим:
\(
\begin{cases}
x^2+x-2=3x-3a-2, \\
2x=3;
\end{cases} \\
x_A = \frac{3}{2}
\)
Значение параметра \(a=\frac{5}{8}\)
Объединив случаи, получим ответ.
Ответ: \(a \in \left(-\frac{8}{3};-1\right) \cup \left(0;\frac{5}{3}\right)\)
