1. Найдите все значения a, при каждом из которых уравнение
имеет единственное решение на интервале
Решение:
Возведём выражение в левой части уравнения в квадрат
Заметим, что выражение в левой части уравнения является полным квадратом
Найдём, при каких a уравнение имеет единственное решение при
1) Уравнение имеет единственное решение на интервале
если
2) Если то решение единственное, если график функции
проходит выше точки A и ниже точки B на рисунке.
В точке A правая ветвь графика функции пересекает прямую
при этом
В точке B левая ветвь графика функции пересекает прямую
Ответ:
2. Найдите все значения параметра a, при каждом из которых уравнение
имеет единственное решение. Найдите это решение для каждого значения a.
Решение:
Сделаем замену
Уравнение примет вид:
(*)
Если уравнение
имеет ровно одно решение
Если уравнение
имеет ровно два различных решения.
Исходное уравнение может иметь единственный корень, только если Подставив
в уравнение (*), получим:
Так как получаем:
отсюда
Подставим в уравнение (*)
1) пусть Тогда
Ни один из этих корней не удовлетворяет условию
2) Пусть тогда
уравнение примет вид: Тогда
условие задачи выволнено.
Ответ:
3. Найдите все значения параметра a, при каждом из которых система уравнений
имеет ровно два различных решения?
Решение:
Заметим, что и
Обозначив
и
получим систему:
В общем случае эта система задаёт две пары параллельных прямых.
Система имеет ровно 2 решения, если или
Если , то система имеет единственное решение. Получим:
при этом
Значит, или
4. Найти все a, при которых минимум функции меньше 2.
Решение:
Рассмотрим функцию Если минимум функции
меньше 2, это значит, что неравенство
имеет хотя бы одно решение, то есть хотя бы одно значение функции
меньше 2.
Пусть
Построим графики функций и
Неравенство имеет хотя бы одно решение, если график функции расположен ниже графика функции
Это происходит, если график
расположен
1) правее точки B, где правая ветвь графика касается графика
и левее точки D, в которой график функции
пересекает прямую
или
2) правее точки C с абсциссой O и левее точки A (точки касания)
Для точки B найдём значение параметра a из условий касания
Для этой точки
Получим:
Отсюда
В точке D
Для этой точки
Аналогично, для точки C получим для точки
Ответ: