Решение домашнего задания от 20 мая

1. Найдите все значения a, при каждом из которых уравнение

$(3|x|+x-a)^2=18x^2+2(x-a)^2$

имеет единственное решение на интервале $(-1;1)$

Решение:

Возведём выражение в левой части уравнения в квадрат

$9x^2+6|x|\cdot(x-a)+(x-a)^2=18x^2+2(x-a)^2$

$9x^2-6|x|(x-a)+(x-a)^2=0$

Заметим, что выражение в левой части уравнения является полным квадратом

$(3|x|-x+a)^2=0;$

$3|x|-x+a=0$

$3|x|=x-a$

Найдём, при каких a уравнение имеет единственное решение при $x\in(-1;1)$

1) Уравнение $3|x|=x-a$ имеет единственное решение на интервале $(-1;1),$ если $a=0.$

2) Если $a\ne 0,$ то решение единственное, если график функции $f(x)=x-a$ проходит выше точки A и ниже точки B на рисунке.

В точке A правая ветвь графика функции $g(x)=3|x|$ пересекает прямую $x=1;$

$A(1;3),$ при этом $a=-2$

В точке B левая ветвь графика функции $g(x)=3|x|$ пересекает прямую $x=-1, a=-4.$

Ответ: $a\in(-4;-2)\cup{0}$

2. Найдите все значения параметра a, при каждом из которых уравнение

$|(x-1)^2-2^{1-a}|+|x-1|+(1-x)^2+2^{a-1}=4+4^a$

имеет единственное решение. Найдите это решение для каждого значения a.

Решение:

$|(x-1)^2-2^{1-a}|+|x-1|=(1-x)^2+2^{a-1}=4+4^a$

Сделаем замену $|x-1|=t, t\geq0$

Уравнение примет вид:

$|t^2-2^{1-a}|+t+t^2+2^{a-1}=4+4^a$ (*)

Если $t=0,$ уравнение $|x-1|=t$ имеет ровно одно решение $x=1.$

Если $t \textgreater 0,$ уравнение $|x-1|=t$ имеет ровно два различных решения.

Исходное уравнение может иметь единственный корень, только если $t=0.$ Подставив $t=0$ в уравнение (*), получим:

$2^{1-a}+2^{a-1}=4+4^2$

$\frac{2}{2^a}+\frac{2^a}{2}=4+4^a$

$\frac{4+4^a}{2\cdot2^a}=4+4^a$

$(4+4^2)\cdot(\frac{1}{2^{a+1}}-1)=0$

Так как $4+4^a\ne0,$ получаем:

$\frac{1}{2^{a+1}}=1,$ отсюда $2^{a+1}=1, a=-1.$

Подставим $a=-1$ в уравнение (*)

$|t^2-4|+t+t^2+\frac{1}{4}=4+\frac{1}{4}$

$|t^2-4|+t+t^2=4$

$|t^2-4|+t=4-t^2$

1) пусть $t^2-4\geq0.$ Тогда $|t^2-4|=t^2-4$

$2t^2+t-8=0$

$t=\frac{-1\pm\sqrt{1+64}}{4};$ $t_1=\frac{-1-\sqrt{65}}{4},$

$t_2=\frac{-1+\sqrt{65}}{4}$

Ни один из этих корней не удовлетворяет условию $t^2-4\geq0$
2) Пусть $t^2-4\textless0,$ тогда $|t^2-4|=4-t^2,$

уравнение примет вид: $t=0.$ Тогда $x=1,$ условие задачи выволнено.

Ответ: $a=-1, x=1.$

3. Найдите все значения параметра a, при каждом из которых система уравнений

$\left\{\begin{matrix} x^2+y^2=a^2,\\xy=a^2-3a \end{matrix}\right.$

имеет ровно два различных решения?

Решение:

$\left\{\begin{matrix} x^2+y^2=a^2\\ 2xy=2a^2-6a \end{matrix}\right.$

$\left\{\begin{matrix} x^2+2xy+y^2=3a^2-6a\\ x^2-2xy+y^2=6a-a^2 \end{matrix}\right.$

$\left\{\begin{matrix} (x+y)^2=3a^2-6a\\ (x-y)^2=6a-a^2 \end{matrix}\right.$

Заметим, что $3a^2-3a\geq0$ и $3a-a^2\geq0.$

$\left\{\begin{matrix} \left[ \begin{array}{ccc} x+y=\sqrt{3a^2-6a} \\ x+y=-\sqrt{3a^2-6a} \\ \end{array} \right. \\ \\\left[ \begin{array}{ccc} x-y=\sqrt{6a-a^2}\\ x-y=-\sqrt{6a-a^2} \\ \end{array} \right. \end{matrix}\right. ;\: \left\{\begin{matrix} \left[ \begin{array}{ccc} y=-x+\sqrt{3a^2-6a} \\ y=-x-\sqrt{3a^2-6a} \\ \end{array} \right. \\ \\\left[ \begin{array}{ccc} y=x-\sqrt{6a-a^2}\\ y=x+\sqrt{6a-a^2} \\ \end{array} \right. \end{matrix}\right.$

Обозначив $\sqrt{3a^2-6a}=b,$ $b\geq0$ и $\sqrt{6a-a^2}=c,$ $c\geq0,$ получим систему:

$\left\{\begin{matrix} \left[ \begin{array}{ccc} y=-x+b \\ y=-x-b \\ \end{array} \right. \\ \\\left[ \begin{array}{ccc} y=x-c\\ y=x+c \\ \end{array} \right. \end{matrix}\right.$

В общем случае эта система задаёт две пары параллельных прямых.

Система имеет ровно 2 решения, если $b=0$ или $c=0.$

Если $\left\{\begin{matrix} b=0\\c=0 \end{matrix}\right.$ , то система имеет единственное решение. Получим:

$\left[ \begin{array}{ccc} 3a^2-6a=0\\ 6a-a^2=0 \\ \end{array} \right.$

при этом $a\ne0.$

Значит, $a=2$ или $a=6.$

4. Найти все a, при которых минимум функции $f(x)=3|x-a|+|x^2+x-2|$ меньше 2.

Решение:

Рассмотрим функцию $f(x).$ Если минимум функции $f(x)$ меньше 2, это значит, что хотя бы в одной точке значение функции $f(x)$ меньше двух. Другими словами, неравенство $f(x)<2$ имеет хотя бы одно решение. Рассмотрим это неравенство.

$3|x-a|+|x^2+x-2| <0$

$3|x-a|+|x^2+x-2| <2$

$|x^2+x-2| < 2-3|x-a|$

Пусть $g(x)=|x^2+x-2|, h(x)=2-3|x-a|$

Построим графики функций $g(x)$ и $h(x).$

Заметим, что график $g(x)$ неподвижен, а график $h(x)$ может перемещаться вдоль оси X в зависимости от параметра a.

Неравенство имеет хотя бы одно решение, если хотя бы одна точка графика функции $g(x)$ расположена ниже графика функции $h(x).$
Это происходит в следующих случаях:

1) График $h(x)$ расположен правее точки B, в которой правая ветвь графика $h(x)$ касается графика $g(x)$ и левее точки D, в которой график функции $g(x)$ пересекает прямую $y=2.$

2) График $h(x)$ расположен правее точки C, в которой $g(x)=2$ , и левее точки A - точки касания.

Найдем абсциссы точек С и D и значения параметра а для этих точек.

В точках C и D: $g(x)=2, |x^2+x-2|=2.$ Эти точки лежат на отрезке [-2; 1], поэтому $-x^2-x+2=2.$

Для точки $D: x=-1.$

Подставив $x=-1$ и $y=2$ в формулу функции $h(x)=2-3|x-a|,$ получим, что для точки $D$ $a=-1.$

Аналогично, для точки С получаем: $x=0, a=0.$

Для точки B найдём значение параметра a из условий касания.
Для этой точки $|x^2+x-2|=x^2+x-2,$ в формуле функции $g(x)$ модуль раскрываем со знаком «плюс».