previous arrow
next arrow
Slider

Решение домашнего задания от 20 мая

1.  Найдите все значения a, при каждом из которых уравнение

(3|x|+x-a)^2=18x^2+2(x-a)^2

имеет единственное решение на интервале (-1;1)

Решение:

Возведём выражение в левой части уравнения в квадрат

9x^2+6|x|\cdot(x-a)+(x-a)^2=18x^2+2(x-a)^2

9x^2-6|x|(x-a)+(x-a)^2=0

Заметим, что выражение в левой части уравнения является полным квадратом

(3|x|-x+a)^2=0;

3|x|-x+a=0

3|x|=x-a

Найдём, при каких a уравнение имеет единственное решение при x\in(-1;1)

1) Уравнение 3|x|=x-a имеет единственное решение на интервале (-1;1), если a=0.

2) Если a=0, то решение единственное, если график функции f(x)=x-a проходит выше точки A и ниже точки B на рисунке.

В точке A правая ветвь графика функции g(x)=3|x| пересекает прямую x=1;

A(1;3), при этом a=-2

В точке B левая ветвь графика функции g(x)=3|x| пересекает прямую x=-1, a=-4.

Ответ: a\in(-4;2)\cup{0}

2. Найдите все значения параметра a, при каждом из которых уравнение

|(x-1)^2-2^{1-a}|+|x-1|+(1-x)^2+2^{a-1}=4+4^a

имеет единственное решение. Найдите это решение для каждого значения a.

Решение:

|(x-1)^2-2^{1-a}|+|x-1|=(1-x)^2+2^{a-1}=4+4^a

Сделаем замену |x-1|=t, t\geq0

Уравнение примет вид:

|t^2-2^{1-a}|+t+t^2+2^{a-1}=4+4^a (*)

Если t=0, уравнение |x-1|=t имеет ровно одно решение x=1.

Если t \textgreater 0, уравнение |x-1|=t имеет ровно два различных решения.

Исходное уравнение может иметь единственный корень, только если t=0. Подставив t=0 в уравнение (*), получим:

2^{1-a}+2^{a-1}=4+4^2

\frac{2}{2^a}+\frac{2^a}{2}=4+4^a

\frac{4+4^a}{2\cdot2^a}=4+4^a

(4+4^2)\cdot(\frac{1}{2^{a+1}}-1)=0

Так как 4+4^a\ne0, получаем:

\frac{1}{2^{a+1}}=1, отсюда 2^{a+1}=1, a=-1.

Подставим a=-1 в уравнение (*)

|t^2-4|+t+t^2+\frac{1}{4}=4+\frac{1}{4}

|t^2-4|+t+t^2=4

|t^2-4|+t=4-t^2

1) пусть t^2-4\geq0. Тогда |t^2-4|=t^2-4

2t^2+t-8=0

t=\frac{-1\pm\sqrt{1+64}}{4}; t_1=\frac{-1-\sqrt{65}}{4},

t_2=\frac{-1+\sqrt{65}}{4}

Ни один из этих корней не удовлетворяет условию t^2-4\geq0
2) Пусть t^2-4\textless0, тогда |t^2-4|=4-t^2,

уравнение примет вид: t=0. Тогда x=1, условие задачи выволнено.

Ответ: a=-1, x=1.

3. Найдите все значения параметра a, при каждом из которых система уравнений

\left\{\begin{matrix} x^2+y^2=a^2,\\xy=a^2-3a \end{matrix}\right.

имеет ровно два различных решения?

Решение:

\left\{\begin{matrix} x^2+y^2=a^2\\ 2xy=2a^2-6a \end{matrix}\right.

\left\{\begin{matrix} x^2+2xy+y^2=3a^2-6a\\ x^2-2xy+y^2=6a-a^2 \end{matrix}\right.

\left\{\begin{matrix} (x+y)^2=3a^2-6a\\ (x-y)^2=6a-a^2 \end{matrix}\right.

Заметим, что 3a^2-3a\geq0 и 3a-a^2\geq0.

\left\{\begin{matrix} \left[ \begin{array}{ccc} x+y=\sqrt{3a^2-6a} \\ x+y=-\sqrt{3a^2-6a} \\ \end{array} \right. \\ \\\left[ \begin{array}{ccc} x-y=\sqrt{6a-a^2}\\ x-y=-\sqrt{6a-a^2} \\ \end{array} \right. \end{matrix}\right. ;\: \left\{\begin{matrix} \left[ \begin{array}{ccc} y=-x+\sqrt{3a^2-6a} \\ y=-x-\sqrt{3a^2-6a} \\ \end{array} \right. \\ \\\left[ \begin{array}{ccc} y=x-\sqrt{6a-a^2}\\ y=x+\sqrt{6a-a^2} \\ \end{array} \right. \end{matrix}\right.

Обозначив \sqrt{3a^2-6a}=b, b\geq0 и \sqrt{6a-a^2}=c, c\geq0, получим систему:

\left\{\begin{matrix} \left[ \begin{array}{ccc} y=-x+b \\ y=-x-b \\ \end{array} \right. \\ \\\left[ \begin{array}{ccc} y=x-c\\ y=x+c \\ \end{array} \right. \end{matrix}\right.

В общем случае эта система задаёт две пары параллельных прямых.

Система имеет ровно 2 решения, если b=0 или c=0.

Если \left\{\begin{matrix} b=0\\c=0 \end{matrix}\right., то система имеет единственное решение. Получим:

\left[ \begin{array}{ccc} 3a^2-6a=0\\ 6a-a^2=0 \\ \end{array} \right.

при этом a\ne0.

Значит, a=2 или a=6.

 

4. Найти все a, при которых минимум функции f(x)=3|x-a|+|x^2+x-2| меньше 2.

Решение:

Рассмотрим функцию f(x). Если минимум функции f(x) меньше 2, это значит, что неравенство f(x)\textless 2 имеет хотя бы одно решение, то есть хотя бы одно значение функции f(x) меньше 2.

3|x-a|+|x^2+x-2|\textless2

|x^2+x-2|\textless2-3|x-a|

Пусть g(x)=|x^2+x-2|, h(x)=2-3|x-a|

Построим графики функций g(x) и h(x).

Неравенство имеет хотя бы одно решение, если график функции g(x) расположен ниже графика функции h(x). Это происходит, если график h(x) расположен

1) правее точки B, где правая ветвь графика h(x) касается графика g(x), и левее точки D, в которой график функции g(x) пересекает прямую y=2, или

2) правее точки C с абсциссой O и левее точки A (точки касания)

Для точки B найдём значение параметра a из условий касания

Для этой точки |x^2+x-2|=x^2+x-2,

2-3|x-a|=2-3(x-a). Получим:

\left\{\begin{matrix} x^2+x-2=2-3x+3a\\ 2x+1=-3 \end{matrix}\right.

Отсюда x_{B}=-2, a=-\frac{8}{3}

В точке D |x^2+x-2|=-x^2-x+2;

-x^2-x+2=2,

x=-1.

Для этой точки a=-2.

Аналогично, для точки C получим a=0, для точки A =\frac{5}{3}.

Ответ:

a\in (-\frac{8}{3};-1)\cup(0;\frac{5}{3})