1. Найдите все значения a, при каждом из которых уравнение
имеет единственное решение на интервале
Решение:
Возведём выражение в левой части уравнения в квадрат
Заметим, что выражение в левой части уравнения является полным квадратом
Найдём, при каких a уравнение имеет единственное решение при
1) Уравнение имеет единственное решение на интервале
если
2) Если то решение единственное, если график функции
проходит выше точки A и ниже точки B на рисунке.
В точке A правая ветвь графика функции пересекает прямую
при этом
В точке B левая ветвь графика функции пересекает прямую
Ответ:
2. Найдите все значения параметра a, при каждом из которых уравнение
имеет единственное решение. Найдите это решение для каждого значения a.
Решение:
Сделаем замену
Уравнение примет вид:
(*)
Если уравнение
имеет ровно одно решение
Если уравнение
имеет ровно два различных решения.
Исходное уравнение может иметь единственный корень, только если Подставив
в уравнение (*), получим:
Так как получаем:
отсюда
Подставим в уравнение (*)
1) пусть Тогда
Ни один из этих корней не удовлетворяет условию
2) Пусть тогда
уравнение примет вид: Тогда
условие задачи выволнено.
Ответ:
3. Найдите все значения параметра a, при каждом из которых система уравнений
имеет ровно два различных решения?
Решение:
Заметим, что и
Обозначив
и
получим систему:
В общем случае эта система задаёт две пары параллельных прямых.
Система имеет ровно 2 решения, если или
Если , то система имеет единственное решение. Получим:
при этом
Значит, или
4. Найти все a, при которых минимум функции меньше 2.
Решение:
Рассмотрим функцию Если минимум функции
меньше 2, это значит, что хотя бы в одной точке значение функции
меньше двух. Другими словами, неравенство
имеет хотя бы одно решение. Рассмотрим это неравенство.
Пусть
Построим графики функций и
Заметим, что график неподвижен, а график
может перемещаться вдоль оси X в зависимости от параметра a.
Неравенство имеет хотя бы одно решение, если хотя бы одна точка графика функции расположена ниже графика функции
Это происходит в следующих случаях:
1) График расположен правее точки B, в которой правая ветвь графика
касается графика
и левее точки D, в которой график функции
пересекает прямую
2) График расположен правее точки C, в которой
, и левее точки A - точки касания.
Найдем абсциссы точек С и D и значения параметра а для этих точек.
В точках C и D: Эти точки лежат на отрезке [-2; 1], поэтому
Для точки
Подставив и
в формулу функции
получим, что для точки
Аналогично, для точки С получаем:
Для точки B найдём значение параметра a из условий касания.
Для этой точки в формуле функции
модуль раскрываем со знаком «плюс».
Кроме того, точка В лежит на таком участке графика функции где
Запишем условия касания:
Отсюда
Аналогично, точка А лежит на участке графика функции где
Для точки А получим:
Значение параметра
Объединив случаи, получим ответ.
Ответ:
Спасибо за то, что пользуйтесь нашими материалами. Информация на странице «Решение домашнего задания от 20 мая» подготовлена нашими авторами специально, чтобы помочь вам в освоении предмета и подготовке к экзаменам. Чтобы успешно сдать необходимые и поступить в высшее учебное заведение или техникум нужно использовать все инструменты: учеба, контрольные, олимпиады, онлайн-лекции, видеоуроки, сборники заданий. Также вы можете воспользоваться другими статьями из данного раздела.
Публикация обновлена: 13.09.2023