Вы умеете решать неравенства? Уверены?
Вспомним для начала, что вообще можно делать с неравенствами и чего с ними делать нельзя.
При решении неравенств мы можем:
1. Умножать обе части неравенства на число или выражение, не равное нулю.
При умножении обеих частей неравенства на положительное число знак неравенства сохраняется.
При умножении обеих частей неравенства на отрицательное число знак неравенства меняется на противоположный.
2. Можем возводить обе части неравенства в квадрат при условии, что они неотрицательны
3. Имея дело с показательным или логарифмическим неравенством, мы можем «отбрасывать» основания или логарифмы. Если основание степени или логарифма больше единицы – знак неравенства будет тот же. Если основание степени или логарифма положительно и меньше единицы – знак неравенства меняется на противоположный.
Конечно, мы не просто «отбрасываем» основания степеней или логарифмы. Мы пользуемся свойствами монотонности соответствующих функций. Если основание степени больше единицы, показательная функция монотонно возрастает. Если основание положительно и меньше единицы – показательная функция монотонно убывает. Аналогично ведет себя и логарифмическая функция.
4. При решении показательных или логарифмических неравенств применяется метод рационализации (замены множителя).
5. Общее правило. Если неравенство можно хоть как-то упростить – это необходимо сделать! Иначе его решение может занять восемь страниц и два часа времени.
Чего нельзя делать при решении неравенств? Вот 7 ловушек, в которые часто попадают абитуриенты.
1. Нельзя умножать (или делить) неравенство на выражение, знака которого мы не знаем.
Например, в неравенстве \(x\left ( 3x-2 \right ) > x\left ( x+1 \right )\) нельзя поделить левую и правую часть на \(x\). Правильный способ: перенести всё в левую часть неравенства, разложить на множители и решить неравенство методом интервалов.
\(x\left ( 3x-2 \right )- x\left ( x+1 \right ) > 0;\)
\(x\left ( 2x-3 \right ) > 0.\)
Получаем, что \(x < 0\) или \(x >\displaystyle \frac{3}{2}\). «Сократив» на \(x\), который может быть отрицательным, мы не получили бы правильного ответа.
2. Извлекать из неравенства корень тоже нельзя. Такого действия просто нет.
Как, например, решить неравенство
\(x^{2} > 100.\)
Перенесем все в левую часть неравенства, чтобы в правой остался ноль.
\(x^{2}-100 > 0.\)
Разложим левую часть на множители.
\(\left ( x-10 \right )\left ( x+10 \right ) > 0.\)
Решим неравенство, пользуясь свойствами квадратичной функции \(y=x^{2}-100\), и запишем ответ: \(x < -10\) или \(x > 10\).
Запомним: ответы типа «\(x > \pm 10\)» абсурдны.
Как решать неравенство \(x^{2} > 0\)? Это типичная «ловушка для абитуриентов». Так и хочется сказать, что \(x > 0\) (то есть извлечь корень из неравенства). Но этого делать нельзя. Выражение \(x^{2}\) положительно при всех \(x\), кроме нуля. Правильное решение неравенства: \(x\neq 0\).
4. Возводить обе части неравенства в квадрат можно только если они неотрицательны.
5. Помним о том, в каких случаях знак показательного или логарифмического неравенства меняется, а в каких – остается тем же. «Отбрасывая» логарифмы, делаем это грамотно.
6. Если в неравенстве есть дроби, корни четной степени или логарифмы – там обязательно будет область допустимых значений.
7. Сложная тем для старшеклассников – задачи с модулем. Проверьте, умеете ли вы их решать.
При решении неравенств большое значение имеет правильное оформление. Рекомендуется оформлять решение как цепочку равносильных переходов: от исходного неравенства к равносильному ему неравенству или системе.
Обратите внимание на приемы, позволяющие решать неравенства легко, быстро и без лишних вычислений.
А теперь – полезный лайфхак для решения дробно-рациональных неравенств.
Решите неравенство:
\(\displaystyle\frac{2x^{3}-8x^{2}+4x-12}{x^{2}-4x}\leq 2x-\frac{1}{x-2}+\frac{3}{x}.\)
Решение:
Запишем ОДЗ: \(\left\{\begin{matrix}
x\neq 4,\\
x\neq 2,\\
x\neq 0.
\end{matrix}\right.\)
Что будет, если действовать «по шаблону» - то есть собрать всё в левой части неравенства и привести к одному знаменателю? - Будет много вычислений и выражение четвертой степени.
Может быть, сделаем проще?
Представим дробь \(\displaystyle\frac{2x^{3}-8x^{2}+4x-12}{x^{2}-4x}\) в виде суммы дробей \(\displaystyle\frac{2x^{3}-8x^{2}}{x^{2}-4x}\) и \(\displaystyle\frac{4x-12}{x^{2}-4x}\).
\(\displaystyle \frac{2x^{3}-8x^{2}}{x^{2}-4x}+\frac{4x-12}{x^{2}-4x}\leq 2x-\frac{1}{x-2}+\frac{3}{x}.\)
Продолжаем упрощать левую часть:
\(\displaystyle \frac{2x\left ( x^{2}-4x \right )}{x^{2}-4x}+\frac{4x-12}{x^{2}-4x}\leq 2x-\frac{1}{x-2}+\frac{3}{x};\)
\(2x+\displaystyle \frac{4x-12}{x\left ( x-4 \right )}\leq 2x-\frac{1}{x-2}+\frac{3}{x}; \)
\(\displaystyle \frac{4x-12}{x\left ( x-4 \right )}+\frac{1}{x-2}-\frac{3}{x}\leq 0.\)
Теперь можно и привести дроби к одному знаменателю.
\(\displaystyle \frac{\left ( 4x-12 \right )\left ( x-2 \right )+x\left ( x-4 \right )-3\left ( x-2 \right )\left ( x-4 \right )}{x\left ( x-4 \right )\left ( x-2 \right )}\leq 0;\)
\(\displaystyle\frac{4x^{2}-12x-8x+24+x^{2}-4x-3x^{2}+18x-24}{x\left ( x-4 \right )\left ( x-2 \right )}\leq 0;\)
\(\displaystyle\frac{2x^{2}-6x}{x\left ( x-4 \right )\left ( x-2 \right )}\leq 0;\)
\(\displaystyle\frac{2x\left ( x-3 \right )}{x\left ( x-4 \right )\left ( x-2 \right )}\leq 0;\)
\(\displaystyle\frac{x\left ( x-3 \right )}{x\left ( x-4 \right )\left ( x-2 \right )}\leq 0. \)
Все, больше ничего не пишем. Решаем неравенство методом интервалов.
Ответ: \(x\in \left ( -\infty;0 \right )\cup \left ( 0;2 \right )\cup \left [ 3;4 \right ).\)
