Условие задачи
15-го декабря планируется взять кредит в банке на 21 месяц. Условия возврата таковы:
— 1-го числа каждого месяца долг возрастает на 3% по сравнению с концом предыдущего месяца;
— со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;
— 15-го числа каждого месяца с 1-го по 20-й долг должен быть на 30 тысяч рублей меньше долга на 15-е число предыдущего месяца;
— к 15-му числу 21-го месяца кредит должен быть полностью погашен.
Какую сумму планируется взять в кредит, если общая сумма выплат после полного его погашения составит 1604 тысяч рублей?
Решение
Прежде всего, введем переменные. Расчеты будем вести в тысячах рублей.
Пусть \(S\) – сумма, которую планируется взять в кредит;
\(Z\) – общая сумма выплат, \(Z=1604\) (тыс. рублей);
\(X\) - ежемесячное уменьшение суммы долга, \(X=30\) (тысяч рублей);
\(p=3\)% - процент, начисляемый банком ежемесячно.
После первого начисления процентов сумма долга равна \(S\cdot \left (1+ \displaystyle \frac{p}{100}\right) = S\cdot k.\) После каждого начисления процентов сумма долга увеличивается в \(k = 1+ \displaystyle \frac{p}{100} \) раза. В нашей задаче \(k=1,03.\)
Определим, к какому типу относится задача. Долг уменьшается равномерно (по условию, 15-го числа каждого месяца с 1-го по 20-й долг должен быть на 30 тысяч рублей меньше долга на 15-е число предыдущего месяца). Значит, это задача второго типа. А в задачах второго типа мы рисуем следующую схему:
После первого начисления процентов сумма долга равна \(kS\). Затем, после первой выплаты, сумма долга равна \(S - X\), где \(X = 30\) (тысяч рублей).
Значит, первая выплата равна \(kS - (S -X)\) (смотри схему).
Вторая выплата: \(k (S - X ) - ( S - 2X).\)
\(…\)
Последняя выплата: \(k ( S - 20 X).\)
Найдем общую сумму выплат \(Z:\)
\(Z = kS - (S - X) + k (S - X ) - ( S - 2X) + … + k ( S - 20X) =\)
\(=k ( S + S – X + S - 2X + … + S - 20 X) - ( S - X + S - 2X + … + S - 20X).\)
Мы сгруппировали слагаемые, содержащие множитель \(k\), и те, в которых нет \(k.\)
Упростим выражения в скобках:
\(k (21S - X (1 + 2 + 3+ … + 20)) - (20S - X (1 + 2 + 3+ … + 20)) = Z.\)
В задачах этого типа (когда сумма долга уменьшается равномерно) применяется формула для суммы арифметической прогрессии: \(S_n=\displaystyle \frac{(a_1+a_n)}{2}\cdot n. \)
В этой задаче мы тоже ее используем: \(1 + 2 + 3+ ... + 20 = \displaystyle \frac{1+20}{2}\cdot 20 = 210. \)
Получим: \(k (21 S - 210X ) - 20 S + 210 k = S (21k - 20) - 210 X (k-1) = Z.\)
Осталось подставить числовые значения: \(S ( 21⋅ 1,03 – 20) - 210 ⋅ 30 ⋅ 0,03 = 1604.\)
Отсюда \(S = 1100\) тысяч рублей \(= 1 100 000\) рублей.
