Условие задачи
Будем называть четырёхзначное число интересным, если среди четырёх цифр в его десятичной записи нет нулей, а одна из этих цифр равна сумме трёх других из них. Например, интересным является число 3111.
а) Приведите пример двух интересных четырёхзначных чисел, разность между которыми равна 17.
б) Найдутся ли два интересных четырёхзначных числа, разность между которыми равна 109?
в) Найдите наименьшее простое число, для которого не существует кратного ему интересного четырёхзначного числа.
Решение
а) Подбором можно получить примеры таких чисел.
1) \(1395\) и \(1412.\) Действительно, \(1395+17=1412\) и \(9=1+3+5,\) а \(4=1+1+2.\)
2) \(2512\) и \(2529.\) Действительно, \(2512+17=2529\) и \(5=2+1+2,\) а \(9=2+5+2.\)
\(1395\) и \(1412.\)
б) Пусть \(\overline{abcd}\) — интересное число, тогда одна из его цифр равна сумме остальных. Не ограничивая общности будем считать, что \(a=b+c+d,\) тогда \(a+b+c+d=2a,\) т. е. сумма цифр интересного числа может быть только чётной. Число с нечётной суммой цифр не будет интересным.
Предположим, что сумма интересного числа \(\overline{abcd}\) с числом 109 снова даёт интересное число. Выясним, какими могут цифры числа \(\overline{abcd},\) чтобы \(\overline{abcd}+109\) оставалось интересным.
1). Если \(d=1,\) то число единиц в сумме равно 0, а по условию такое число не является интересным, т. е. \(d\neq 1.\)
2) Если \(d>1,\) то при сложении с 9 число единиц в сумме уменьшится на 1, т. е. будет равно \(d-1,\) а число десятков увеличится на 1, т. е. будет \(c+1.\) Это число останется однозначным (цифрой), если \(c\le 8.\) Если же \(c=9,\) то цифра десятков в сумме будет 0, а значит, число не будет интересным.
Мы выяснили, что в получающейся сумме \(\overline{abcd}+109\) сумма цифр единиц и десятков не изменилась \(c+d=\left(c+1\right)+\left(d-1\right).\)
3) При добавлении 109 число десятков в сумме может измениться на 1, т. е. получим число вида \(\overline{a\left(b+1\right)\left(c+1\right)\left(d-1\right)},\) сумма цифр которого равна \(a+\left(b+1\right)+\left(c+1\right)+\left(d-1\right)=a+b+c+d+1,\) она на 1 больше суммы цифр интересного числа, а значит, нечётна. Интересного числа не получилось.
4) Если же \(b=9,\) то в сумме \(\overline{abcd}+109\) цифра сотен станет «0», и число опять не будет интересным.
Следовательно, не найдётся двух интересных чисел, разность между которыми равна 109.
Нет, не найдутся.
в) Первые простые числа — это \(2, 3, 5, 7, 11, 13. \dots \)
Из найденных ранее чисел 1412 делится на 2 (\(1412\vdots 2\)), \(1395\vdots 3\) и \(1395\vdots 5.\) Можно привести пример интересного числа, делящегося на \(7: 1449\).
Попробуем найти интересные числа, кратные 11.
Предположим, что интересное число \(A=\overline{abcd}\) делится на 11. По признаку делимости на 11 или \(a+c=b+d,\) или \(\left(a+c-b-d\right)\vdots 11,\) т. е. \(a+c-b-d=11\cdot n,\) где \(n\) — целое.
1) Если \(a+c=b+d\) и \(a=b+c+d,\) то \(b+c+d+c=b+d,\) откуда следует, что \(c=0,\) т. е. число \(A\) не является интересным. Аналогичный вывод получаем и в случаях \(c=a+b+d, \; b=a+c+d, \; d=a+b+c.\)
2) Если \(a+c> b+d\) и \(a+c=b+d+11,\) то для суммы цифр числа \(A\) получаем \(a+c+b+d=2b+2d+11\) — нечетное число, значит, \(A\) — неинтересное число.
3) Если \(a+c> b+d\) и \(a+c=b+d+11\cdot n,\) где натуральное число \(n\) больше 1, то левая часть как сумма цифр \(a+c\le 18,\) а правая часть \(b+d+11\cdot n\geq 2+22=24,\) и равенства быть не может.
Случай \(b+d> a+c\) рассматривается аналогично.
Следовательно, наименьшее простое число, для которого не существует кратного ему интересного четырёхзначного числа, — это число 11.
Ответ:
а) 1395 и 1412. б) Нет, не найдутся. в) 11.
