Механика — квантовая физика. Расчётная задача
В. З. Шапиро
При решении расчётной задачи № 28 надо выделять следующие элементы:
- Работа с условием задачи: запись «Дано»,
- представление рисунка, если это необходимо для понимания физической ситуации;
- описание физической модели, т.е. указание на то, какие явления или процессы рассматриваются, какие закономерности можно использовать для решения задачи и чем можно пренебречь, чтобы ситуация отвечала выбранной модели.
- Запись всех необходимых для решения задачи законов и формул, описание используемых физических величин, которые не вошли в «Дано».
- Проведение математических преобразований и расчётов, получение ответа.
Задание № 28 оценивается в 2 балла, так как является типовой расчетной задачей.
1. Сталкиваются и слипаются два разных по массе пластилиновых шарика, причём векторы их скоростей непосредственно перед столкновением направлены навстречу друг другу и одинаковы по модулю: \(\nu_1 = \nu_2 = 1\) м/с. Во сколько раз масса тяжёлого шарика больше, чем лёгкого, если сразу после столкновения их скорость стала равной (по модулю) 0,5 м/с?
Необходимая теория:
Дано:
\(\upsilon_{1} = \upsilon_{2} = 1 \) м/с;
\(v'_1=v'_2=0,5\) м/с
Найти: \(\displaystyle \frac{M}{m} - ?\)
Решение:
Сделаем чертеж, поясняющий условие задачи.
Применим закон сохранения импульса к системе двух взаимодействующих шаров.
Запись этого закона в векторной форме будет иметь вид:
\(M\overrightarrow{v_1}+m\overrightarrow{v_2}=M\overrightarrow{v'_1}+m\overrightarrow{v'_2}\) (1), где \(\overrightarrow{v_1}, \overrightarrow{v_2}\) – векторы скоростей первого и второго шаров до взаимодействия;
а \(\overrightarrow{v'_1}\) и \(\overrightarrow{v'_2}\) – векторы скоростей первого и второго шаров после взаимодействия.
Уравнение (1) в проекциях на выбранную ось ОХ будет иметь вид:
\(OX: Mv_1-mv_2=\left(M+m\right)v'_1\) (2).
Здесь расставлены знаки проекций скоростей с учетом того, что первый шарик массой М движется по направлению оси ОХ, а второй шарик массой m движется противоположно оси ОХ. Кроме этого, сделано предположение, что после неупругого удара оба шарика будут двигаться по направлению оси ОХ. Это предположение основано на том, что масса левого шарика больше, чем правого, а модули скоростей до взаимодействия одинаковы.
Выразим из уравнения (2) отношение масс \(\displaystyle \frac{M}{m} \).
\(Mv_1-mv_2=Mv'_1+mv'_1;\)
\(Mv_1- Mv'_1= mv'_1+ mv_2;\)
\(M(v_1-v'_1)=m(v'_1+v_2);\)
\(\displaystyle \frac{M}{m}=\frac{v'_1+v_2}{v_1-v'_1}.\)
Подставим численные значения и проведем расчет.
\(\displaystyle \frac{M}{m}=\frac{0,5+1}{1-0,5}=3.\)
Ответ: 3.
Секрет решения. При решении задач по теме «Закон сохранения импульса» необходимо соблюдать определенный алгоритм (последовательность действий):
- Записать закон сохранения импульса для системы взаимодействующих тел в векторном виде.
- Выбрать ось ОХ (или ОY), на которую надо спроецировать проекции тел до и после взаимодействия.
- Учесть вид взаимодействия (абсолютно упругий или абсолютно неупругий удар).
- Сделать предположение о движении тел после взаимодействия.
- Составить уравнение и решить его относительно неизвестной величины.
Этот алгоритм (последовательность действий) является необходимым инструментом при решении подобных задач. Вероятность того, что на ЕГЭ встретится точно такая же задача, очень мала. Особенно это справедливо для второй части. Только вооружившись данным методом решения задач, можно надеяться на успех.
2. Груз массой 120 кг удерживают с помощью рычага, приложив к его концу вертикально направленную силу 300 Н (см. рисунок). Рычаг состоит из шарнира без трения и длинного однородного стержня массой 30 кг. Расстояние от оси шарнира до точки подвеса груза равно 1 м. Определите длину стержня.
Необходимая теория:
Дано:
М = 120 кг;
F = 300 Н;
m = 30 кг;
b = 1 м.
Найти: L – ?
Решение:
На рисунке отметим силы, приложенные к рычагу.
\(m\overrightarrow{g}\) – сила тяжести стержня. С учетом того, что стержень однородный, центр тяжести расположен посередине.
\(\overrightarrow{N}\) – сила реакции, действующая со стороны опоры на стержень.
\(M\overrightarrow{g}\) – вес груза массой М, который действует на стержень.
Для рычага, находящегося в равновесии, алгебраическая сумма моментов сил равна нулю.
Рассмотрим моменты сил относительно точки опоры.
\(M_1=Mgb;\)
\(\displaystyle M_2=mg\left(\frac{L}{2 }-b\right);\)
\(M_3=F\left(L-b\right).\)
Момент силы реакции опоры \(\overrightarrow{N}\) равен нулю, так как плечо этой силы относительно точки опоры равно нулю.
Будем считать моменты сил, вращающих рычаг против часовой стрелки, положительными, а моменты сил, вращающих рычаг по часовой стрелке, отрицательными.
Тогда \(M_1\textgreater 0; \, M_2\textless 0; \, M_3\textless 0.\)
Составим уравнение:
\(\displaystyle Mgb- mg\left(\frac{L}{2}-b\right)-\ F\left(L-b\right)=0.\)
Решим это уравнение относительно L.
\(\displaystyle Mgb- mg\frac{L}{2}+mgb- FL+Fb=0;\)
\(\displaystyle Mgb+mgb+Fb= mg\frac{L}{2}+FL;\)
\(\displaystyle Mgb+mgb+Fb=L\left(\frac{mg}{2}+F\right);\)
\(\displaystyle L=\frac{Mgb+mgb+Fb}{\frac{mg}{2}+F}.\)
Подставим численные значения и проведем расчет.
\(\displaystyle L=\frac{120\cdot 10\cdot 1+30\cdot 10\cdot 1+300\cdot 1}{\frac{30\cdot 10}{2}+300}=4\) (м).
Ответ: 4 м.
Секрет решения. Решение подобных задач сводится к составлению уравнений, выражающих условия равновесия тел.
Первое условие: векторная сумма сил, приложенных к телу, равна нулю.
Второе условие: алгебраическая сумма моментов сил, приложенных к телу, равна нулю.
Сложности в этой теме связаны с определением плеч сил. Надо помнить, что плечо – это кратчайшее расстояние от оси вращения до линии, вдоль которой действует сила.
Если в задаче дается тело, находящееся на двух опорах, то, возможно, потребуется составление условия равновесия через моменты сил для двух точек С и D опоры (рис. 1)
Рис.1
Главное, надо помнить, что для решения системы уравнений необходимо, чтобы число неизвестных было равно числу независимых уравнений.
3. Два груза подвешены на достаточно длинной невесомой нерастяжимой нити, перекинутой через идеальный блок (см. рисунок). Грузы удерживали неподвижно, а затем осторожно отпустили, после чего они начали двигаться равноускорено. Опустившись на 2 м, левый груз приобрёл скорость 4 м/с. Определите силу натяжения нити, если масса правого груза m = 1 кг. Трением пренебречь.
Необходимая теория:
Второй и третий законы Ньютона
Дано:
m = 1 кг;
h = 2 м;
v = 4 м/с.
Найти: Т-?
Решение:
Укажем все силы, которые действуют на грузы массой М и m.
\(M\overrightarrow{g}\) – сила тяжести, действующая на груз массой М.
\(m\overrightarrow{g}\) – сила тяжести, действующая на груз массой m.
\(\overrightarrow{T_1}\) – сила натяжения нити, действующая на груз массой М.
\(\overrightarrow{T_2}\) – сила натяжения нити, действующая на груз массой m.
Составим уравнение движения для каждого груза на основании второго закона Ньютона:
\(M\overrightarrow{a_1}=\ M\overrightarrow{g}+\overrightarrow{T_1};\)
\(m\overrightarrow{a_2}=\ m\overrightarrow{g}+\overrightarrow{T_2}.\)
Запишем эти уравнения в проекциях на ось OY.
\(OY: \, \, -Ma_1=-Mg+T_1 (1);\)
\(OY: \, \, ma_2=-mg+T_2 (2).\)
Так как нить невесома и нерастяжима, а блок идеальный, то
\(a_1=a_2=a\) и \(T_1=T_2=T.\)
Тогда уравнения (1) и (2) примут вид:
\(-Ma=-Mg+T\) (3);
\(ma=-mg+T\) (4).
Для нахождения силы натяжения нити достаточно воспользоваться уравнением под номером 4. Из него можно выразить силу натяжения нити Т.
\(T= ma+mg\) (5).
Из кинематической формулы \(\displaystyle S=\frac{v^{2}-v^2_0}{2a},\) с учетом равенства нулю начальной скорости \((v_0=0),\) найдем ускорение системы тел.
\(\displaystyle a=\frac{v^{2 }}{2S}=\frac{v^{2}}{2h},\) так как s = h.
Подставив ускорение в формулу (5), получим:
\(\displaystyle T= m\frac{v^{2}}{2h}+mg=m\left(\frac{v^{2 }}{2h}+g\right).\)
Проведем расчет силы натяжения нити:
\(\displaystyle T=1\left(\frac{4^2}{2\cdot 2}+10\right)=14\) Н.
Ответ: 14 Н.
Секрет решения. При решении задач по темам «Движение связанных тел», «Движение тел по наклонной плоскости» необходимо использовать следующий алгоритм (последовательность действий):
- Указать на чертеже (рисунке) все силы, приложенные к каждому телу.
- Составить уравнение движения для каждого тела в векторном виде на основе второго закона Ньютона.
- Выбрать оси координат ОХ и ОY и записать уравнения движения в проекциях на выбранные оси.
- Составить систему уравнений и решить ее относительно неизвестной величины.
- Подставить численные значения и провести расчет.
Иногда, при использовании этого алгоритма, возникает вопрос о направлении осей ОХ и ОY, куда направить «стрелочки», вверх-вниз, вправо-влево? Это не имеет никакого значения, больше того, для одного тела направление оси можно выбрать вверх, а для другого вниз. Это равносильно тому, что математическое уравнение можно умножить (разделить) на (-1), от этого равенство не изменится.
