Механика. Расчетная задача
В. З. Шапиро
Задание №29 относится к высокому уровню сложности. Тематика этого номера – механика. Задача требует полного оформления:
- запись «Дано»,
- перевод единиц измерения в систему «СИ»,
- необходимый чертеж или рисунок,
- построение и описание физической модели,
- запись всех необходимых для решения задачи законов и формул,
- проведение математических преобразований и расчётов,
- получение ответа.
При выполнении всех указанных требований, задача оценивается тремя баллами.
1. Пластилиновый шарик в момент t = 0 бросают с горизонтальной поверхности Земли с начальной скоростью \(\it \upsilon _{0}\) под углом \(\alpha\) к горизонту. Одновременно с некоторой высоты над поверхностью земли начинает падать из состояния покоя другой такой же шарик. Шарики абсолютно неупруго сталкиваются в воздухе. Сразу после столкновения скорость шариков направлена горизонтально. В какой момент времени \tau шарики упадут на Землю? Сопротивлением воздуха пренебречь.
Необходимая теория: Импульс
Дано:
\(\upsilon _{0} , \alpha . \)
Найти: \(\tau - ?\)
Решение:
Решение этой задачи необходимо сопровождать пояснительным рисунком.
Первый шарик бросают из точки О, второй свободно падает из точки А. Так как после столкновения в точке В их скорость будет направлена горизонтально, то согласно закону сохранения импульса, вертикальные составляющие импульсов шаров равны по модулю и противоположны по направлению.
Составим уравнения, которые выражают зависимость вертикальных составляющих скоростей шариков от времени.
Для первого шарика: \(v_{1y}(t)=v_0{\sin \alpha -gt }\) (1).
Для второго шарика: \(v_{2y}\left(t\right)=-gt\) (2).
Согласно закону сохранения импульса:
\(m\overrightarrow{v_1}+m\overrightarrow{v_2}=2m\overrightarrow{u_0}. \)
Для вертикальной составляющей импульсов шаров справедливо выражение в проекциях на ось OY:
OY: \(mv_{1y}\left(t\right)+mv_{2y}\left(t\right)=0. \)
После сокращения на m получим:
\(v_{1y}\left(t\right)+v_{2y}\left(t\right)=0. \)
После подстановки (1) и (2) получим:
\(v_0{\sin \alpha -gt }-gt=0;\)
\(v_0{\sin \alpha -2gt }=0;\)
\(v_0{\sin \alpha =2gt. }\)
\(\displaystyle t=\frac{v_0{\sin \alpha }}{2g}\) (3) – время до момента столкновения.
Определим высоту на которой произошло столкновение шариков.
Для первого шарика запишем:
\(\displaystyle h=v_0t{\sin \alpha -\frac{gt^2}{2} } .\) Подставим вместо t время до столкновения (3).
\(\displaystyle h=v_0\frac{v_0{\sin \alpha }}{2g}{\sin \alpha -\frac{g}{2}\ }{\left[\frac{v_0{\sin \alpha }}{2g}\right]}^2; \)
\(\displaystyle h=\frac{v^2_0{\sin }^2\alpha }{2g}{- \frac{gv^2_0{\sin }^2\alpha }{8g}=\frac{{4v}^2_0{\sin }^2\alpha }{8g}-\frac{gv^2_0{\sin }^2\alpha }{8g}=\frac{{3v}^2_0{\sin }^2\alpha }{8g}}\) (4).
Так как скорость шариков \(\overrightarrow{u_0} \) после удара горизонтальна, то время падения на землю после столкновения можно найти из условия \(\displaystyle h=\frac{gt^2_1}{2}.\)
Откуда \(\displaystyle t_1= \sqrt{\frac{2h}{g}}.\) Подставим в это выражение время из уравнения (4).
\(\displaystyle t_1=\ \sqrt{\frac{2\cdot \frac{{3v}^2_0{\sin }^2\alpha }{8g}}{g}}=\sqrt{\frac{6v^2_0{\sin }^2\alpha }{{8g}^2}}=\sqrt{\frac{3v^2_0{\sin }^2\alpha }{{4g}^2}}=\sqrt{3}\frac{v_0\sin \alpha }{2g}.\)
Общее время можно найти, сложив \(\tau = t + t_1.\)
\(\displaystyle \tau = \frac{v_0{\sin \alpha \ }}{2g}+\sqrt{3}\frac{v_0\sin \alpha }{2g}=\frac{v_0\sin \alpha }{2g}\ \cdot \left(1+\sqrt{3}\right).\)
Ответ: \(\displaystyle \frac{v_0\sin \alpha }{2g}\ \cdot \left(1+\sqrt{3}\right).\)
Секрет решения. Эта задача включает в себя знания из следующих разделов механики: «Движение тела, брошенного под углом к горизонту» и «Закон сохранения импульса».
Решение задачи надо провести в общем виде – это дополнительная сложность. Но все это преодолимо, если пользоваться алгоритмами для закона сохранения импульса, основными уравнениями для равноускоренного и равномерного движения. И главное, проводить все выводы очень внимательно.
2. По гладкой наклонной плоскости, составляющей угол \({ \alpha }=30^\circ\) с горизонтом, скользит из состояния покоя брусок массой M=250 г. В тот момент, когда брусок прошёл по наклонной плоскости расстояниe. Возможно, пропущен предлог «на» между словами.x=3,6 м, в него попала и застряла в нём летящая навстречу ему вдоль наклонной плоскости пуля массой m=5 г. После попадания пули брусок поднялся вверх вдоль наклонной плоскости на расстояние S=2,5 м от места удара. Найдите скорость пули перед попаданием в брусок. Трение бруска о плоскость не учитывать.
Необходимая теория:
| Дано: | «СИ» |
| \(\alpha = 30^\circ\); | |
| M = 250г; | 0,25 кг; |
| x = 3,6 м; | |
| m = 5г; | 0,005 кг. |
| S = 2,5 м. | |
|
Найти: v – ? |
Решение:
1.Найдём скорость \(\upsilon_{1},\) которую брусок приобрёл, пройдя путь x. Согласно закону сохранения энергии:
\(\displaystyle Mgx \sin { \alpha }=\frac{M\upsilon _{1}^{2} }{2} , \upsilon _{1} =\sqrt{2gx \sin { \alpha }}.\) (1).
2.Учитывая абсолютно неупругий удар пули и бруска, запишем закон сохранения импульса для этих тел:
\(m\upsilon -M\upsilon _{1} =\left(M+m\right)\upsilon _{2} ,\) (2),
где \(\upsilon\) – скорость пули, \(\upsilon _{2}\) – скорость, которую приобретут тела после неупругого удара.
3. По закону сохранения энергии бруска, поднявшегося по наклонной плоскости на расстояние S:
\(\displaystyle \frac{\left(M+m\right)\upsilon _{2}^{2} }{2} =\left(M+m\right)gS \sin { \alpha ,} \, \, \, \, \, \, \upsilon _{2} =\sqrt{2gS \sin { \alpha }} . \) (3).
4. Тогда, выразим из (2) искомую скорость.
\(\displaystyle v=\frac{Mv_1+(M+m)v_2}{m}=\frac{Mv_1}{m}+\frac{(M+m)v_2}{m}= \frac{Mv_1}{m}+\left(\frac{M}{m}+1\right)v_2\) (4).
В это выражение подставим значения скоростей \(v_1\) и \(v_2\) из (1) и (3):
\(\displaystyle \upsilon =\frac{M}{m} \sqrt{2gx\\sin { \alpha }} +\left(\frac{M}{m} +1\right)\sqrt{2gS\\sin { \alpha }} , \)
\(\upsilon =50\sqrt{2\cdot 10\cdot 3,6\cdot 0,5} +51\cdot \sqrt{2\cdot 10\cdot 2,5\cdot 0,5} =555\) (м/с).
Ответ: 555 м/с.
Секрет решения. Эта задача включает в себя знания из следующих разделов механики: «Закон сохранения энергии» и «Закон сохранения импульса». Применение этих законов должно сопровождаться определенным алгоритмом. Необходимо обратить внимание на следующие шаги:
- Закон сохранения импульса:
- векторная запись;
- выбор осей координат и запись закона в проекциях на эти оси;
- учет вида взаимодействия (абсолютно упругий удар или абсолютно неупругий удар);
- предположение о направлении движения тел после взаимодействия;
- если предположение оказалось неверным, то в расчетах скорость тел после взаимодействия получится со знаком «-». Тогда тела будут двигаться в противоположном направлении с той же самой по модулю скоростью.
- Закон сохранения энергии:
- необходимо указать, чему равна сумма кинетической и потенциальной энергии в первой рассматриваемой точке или в начальный момент времени;
- точно так же описать вторую точку или последующий момент времени.
- При использовании закона сохранения энергии первичными являются рассуждения, которые потом приобретают математический вид.
Дальнейшие шаги сводятся к решению системы уравнений относительно неизвестной величины. При желании, можно решать задачу по частям, проводя промежуточные расчеты. Это допускается и не приводит к потере баллов.
3. Два небольших шара массами \(m_{1} = 0,2\) кг и \(m_{2} = 0,3\) кг закреплены на концах невесомого стержня AB, расположенного горизонтально на опорах C и D (см. рисунок). Расстояние между опорами l = 0,6 м, а расстояние AC равно 0,2 м. Чему равна длина стержня L, если сила давления стержня на опору D в 2 раза больше, чем на опору C? Сделайте рисунок с указанием внешних сил, действующих на систему тел «стержень – шары».
Необходимая теория:
Дано:
\(m_{1} = 0,2\) кг;
\(m_{2} = 0,3\) кг;
l = 0,6 м;
AC = 0,2 м;
\(\displaystyle \frac{N_2}{N_1}=2. \)
Найти: L – ?
Решение:
Укажем все силы, действующие на систему тел «стержень – шары» (см. рисунок).
Запишем условия равновесия с учетом равенство нулю геометрической суммы сил и алгебраической суммы моментов сил.
\(\overrightarrow{N_1 }+\overrightarrow{N_2 }+\overrightarrow{m_1 g}+\overrightarrow{m_2 g}=0.\)
Это уравнение в проекциях на ось OY будет иметь вид:
OY: \(N_1+N_2- m_1g-m_2g=0\) (1).
C учетом \(\displaystyle \frac{N_2}{N_1}=2,\) запишем:
\(N_1+2N_1- m_1g-m_2g=0;\)
\({3N}_1- m_1g-m_2g=0\) (2).
Для моментов сил относительно точки А справедливо соотношение:
\(N_1\cdot \left|AC\right|+N_2\left(l+\left|AC\right|\right)-m_2gL=0 \) (3).
Здесь учтено, что плечо силы \(\overrightarrow{m_1 g}\) относительно точки А равно нулю, соответственно, момент силы также равен нулю.
Выразим из (2) силу \(N_1.\)
\({3N}_1=\ m_1g+m_2g;\)
\(\displaystyle \displaystyle N_1=\frac{m_1g+m_2g}{3}.\)
Проведем промежуточный расчет силы \(N_1.\)
\(\displaystyle N_1=\frac{0,2\cdot 10+0,3\cdot 10}{3}=\frac{5}{3}\) (Н), тогда \(\displaystyle N_2=\ \frac{5}{3}\cdot 2=\frac{10}{3}\) (Н).
Из уравнения (3) выразим искомую величину – длину стержня L.
\(N_1\cdot \left|AC\right|+N_2\left(l+\left|AC\right|\right)=m_2gL;\)
\(\displaystyle L=\frac{N_1\cdot \left|AC\right|+N_2\left(l+\left|AC\right|\right)}{m_2g} . \)
Подставим численные значения и проведем расчет длины стержня.
\(\displaystyle L=\frac{\frac{5}{3}\cdot 0,2+\frac{10}{3}\cdot (0,6+0,2)}{0,3\cdot 10} = \frac{1}{3}\cdot \frac{\left(5\cdot 0,2+10\cdot 0,8\right)}{0,3\cdot 10}=\ \frac{1}{3}\cdot \frac{9}{0,3\cdot 10 }=1\) м.
Ответ: 1 м.
Секрет решения. В этой задаче требуется глубокое понимание и умение применять условия равновесия твердого тела (системы тел). Еще раз надо обратить внимание на понятие плеча силы – кратчайшего расстояния от линии действия силы до выбранной точки. При записи алгебраической суммы моментов сил надо правильно расставить знаки «+» или «-», в зависимости от того, куда стремится повернуть сила твердое тело: по часовой или против часовой стрелки. Общепринято считать момент силы положительным, если сила стремится повернуть тело против часовой стрелки относительно выбранной точки и наоборот.
В этой задаче правило моментов записывалось относительно точки А, но в тоже время, можно было его записать и относительно точек С и D. Это зависит от того, какие физические величины известны по условию, сколько неизвестных величин в полученных уравнениях. Прежде чем тратить силы и время на решение системы уравнений, надо убедиться, что число неизвестных равно числу независимых уравнений. Тогда остается только выбрать наиболее рациональный метод решения системы уравнений.
