Механика. Расчетная задача
В. З. Шапиро
Задание №29 относится к высокому уровню сложности. Тематика этого номера – механика. Задача требует полного оформления:
- запись «Дано»,
- перевод единиц измерения в систему «СИ»,
- необходимый чертеж или рисунок,
- построение и описание физической модели,
- запись всех необходимых для решения задачи законов и формул,
- проведение математических преобразований и расчётов,
- получение ответа.
При выполнении всех указанных требований, задача оценивается тремя баллами.
1. Пластилиновый шарик в момент t = 0 бросают с горизонтальной поверхности Земли с начальной скоростью под углом
к горизонту. Одновременно с некоторой высоты над поверхностью земли начинает падать из состояния покоя другой такой же шарик. Шарики абсолютно неупруго сталкиваются в воздухе. Сразу после столкновения скорость шариков направлена горизонтально. В какой момент времени \tau шарики упадут на Землю? Сопротивлением воздуха пренебречь.
Необходимая теория: Импульс
Дано:
Найти:
Решение:
Решение этой задачи необходимо сопровождать пояснительным рисунком.
Первый шарик бросают из точки О, второй свободно падает из точки А. Так как после столкновения в точке В их скорость будет направлена горизонтально, то согласно закону сохранения импульса, вертикальные составляющие импульсов шаров равны по модулю и противоположны по направлению.
Составим уравнения, которые выражают зависимость вертикальных составляющих скоростей шариков от времени.
Для первого шарика: (1).
Для второго шарика: (2).
Согласно закону сохранения импульса:
Для вертикальной составляющей импульсов шаров справедливо выражение в проекциях на ось OY:
OY:
После сокращения на m получим:
После подстановки (1) и (2) получим:
(3) – время до момента столкновения.
Определим высоту на которой произошло столкновение шариков.
Для первого шарика запишем:
Подставим вместо t время до столкновения (3).
(4).
Так как скорость шариков после удара горизонтальна, то время падения на землю после столкновения можно найти из условия
Откуда Подставим в это выражение время из уравнения (4).
Общее время можно найти, сложив
Ответ:
Секрет решения. Эта задача включает в себя знания из следующих разделов механики: «Движение тела, брошенного под углом к горизонту» и «Закон сохранения импульса».
Решение задачи надо провести в общем виде – это дополнительная сложность. Но все это преодолимо, если пользоваться алгоритмами для закона сохранения импульса, основными уравнениями для равноускоренного и равномерного движения. И главное, проводить все выводы очень внимательно.
2. По гладкой наклонной плоскости, составляющей угол с горизонтом, скользит из состояния покоя брусок массой M=250 г. В тот момент, когда брусок прошёл по наклонной плоскости расстояниe. Возможно, пропущен предлог «на» между словами.x=3,6 м, в него попала и застряла в нём летящая навстречу ему вдоль наклонной плоскости пуля массой m=5 г. После попадания пули брусок поднялся вверх вдоль наклонной плоскости на расстояние S=2,5 м от места удара. Найдите скорость пули перед попаданием в брусок. Трение бруска о плоскость не учитывать.
Необходимая теория:
Дано: | «СИ» |
M = 250г; | 0,25 кг; |
x = 3,6 м; | |
m = 5г; | 0,005 кг. |
S = 2,5 м. | |
Найти: v – ? |
Решение:
1.Найдём скорость которую брусок приобрёл, пройдя путь x. Согласно закону сохранения энергии:
(1).
2.Учитывая абсолютно неупругий удар пули и бруска, запишем закон сохранения импульса для этих тел:
(2),
где – скорость пули,
– скорость, которую приобретут тела после неупругого удара.
3. По закону сохранения энергии бруска, поднявшегося по наклонной плоскости на расстояние S:
(3).
4. Тогда, выразим из (2) искомую скорость.
(4).
В это выражение подставим значения скоростей и
из (1) и (3):
(м/с).
Ответ: 555 м/с.
Секрет решения. Эта задача включает в себя знания из следующих разделов механики: «Закон сохранения энергии» и «Закон сохранения импульса». Применение этих законов должно сопровождаться определенным алгоритмом. Необходимо обратить внимание на следующие шаги:
- Закон сохранения импульса:
- векторная запись;
- выбор осей координат и запись закона в проекциях на эти оси;
- учет вида взаимодействия (абсолютно упругий удар или абсолютно неупругий удар);
- предположение о направлении движения тел после взаимодействия;
- если предположение оказалось неверным, то в расчетах скорость тел после взаимодействия получится со знаком «-». Тогда тела будут двигаться в противоположном направлении с той же самой по модулю скоростью.
- Закон сохранения энергии:
- необходимо указать, чему равна сумма кинетической и потенциальной энергии в первой рассматриваемой точке или в начальный момент времени;
- точно так же описать вторую точку или последующий момент времени.
- При использовании закона сохранения энергии первичными являются рассуждения, которые потом приобретают математический вид.
Дальнейшие шаги сводятся к решению системы уравнений относительно неизвестной величины. При желании, можно решать задачу по частям, проводя промежуточные расчеты. Это допускается и не приводит к потере баллов.
3. Два небольших шара массами кг и
кг закреплены на концах невесомого стержня AB, расположенного горизонтально на опорах C и D (см. рисунок). Расстояние между опорами l = 0,6 м, а расстояние AC равно 0,2 м. Чему равна длина стержня L, если сила давления стержня на опору D в 2 раза больше, чем на опору C? Сделайте рисунок с указанием внешних сил, действующих на систему тел «стержень – шары».
Необходимая теория:
Дано:
кг;
кг;
l = 0,6 м;
AC = 0,2 м;
Найти: L – ?
Решение:
Укажем все силы, действующие на систему тел «стержень – шары» (см. рисунок).
Запишем условия равновесия с учетом равенство нулю геометрической суммы сил и алгебраической суммы моментов сил.
Это уравнение в проекциях на ось OY будет иметь вид:
OY: (1).
C учетом запишем:
(2).
Для моментов сил относительно точки А справедливо соотношение:
(3).
Здесь учтено, что плечо силы относительно точки А равно нулю, соответственно, момент силы также равен нулю.
Выразим из (2) силу
Проведем промежуточный расчет силы
(Н), тогда
(Н).
Из уравнения (3) выразим искомую величину – длину стержня L.
Подставим численные значения и проведем расчет длины стержня.
м.
Ответ: 1 м.
Секрет решения. В этой задаче требуется глубокое понимание и умение применять условия равновесия твердого тела (системы тел). Еще раз надо обратить внимание на понятие плеча силы – кратчайшего расстояния от линии действия силы до выбранной точки. При записи алгебраической суммы моментов сил надо правильно расставить знаки «+» или «-», в зависимости от того, куда стремится повернуть сила твердое тело: по часовой или против часовой стрелки. Общепринято считать момент силы положительным, если сила стремится повернуть тело против часовой стрелки относительно выбранной точки и наоборот.
В этой задаче правило моментов записывалось относительно точки А, но в тоже время, можно было его записать и относительно точек С и D. Это зависит от того, какие физические величины известны по условию, сколько неизвестных величин в полученных уравнениях. Прежде чем тратить силы и время на решение системы уравнений, надо убедиться, что число неизвестных равно числу независимых уравнений. Тогда остается только выбрать наиболее рациональный метод решения системы уравнений.