Электродинамика. Расчетная задача
В. З. Шапиро
Как правило, это задание по теме «Электродинамика». Оно требует умения читать электрические схемы и применять теоретические знания при решении задач. На каждом этапе необходимо проводить анализ выведенных формул, вводить дополнительные обоснования в процессе решения. Так как это задание высокого уровня сложности, то в них могут появляться ситуации, которые не встречались ранее в сборниках задач.
1. К аккумулятору с ЭДС 50 В и внутренним сопротивлением 4 Ом подключили лампу сопротивлением 10 Ом и резистор сопротивлением 15 Ом, а также конденсатор ёмкостью 100 мкФ (см. рисунок). Спустя длительный промежуток времени ключ К размыкают. Какое количество теплоты выделится после этого на лампе?
Необходимая теория:
Конденсатор. Энергия электрического поля
ЭДС. Закон Ома для полной цепи
Решение:
До размыкания ключа электрический ток протекает через параллельно соединённые лампу и резистор. Найдем их общее сопротивление.
Проведем расчет общего сопротивления.
По закону Ома для полной цепи определим общую силу тока.
Таким образом, до размыкания ключа в конденсаторе была накоплена энергия \(\displaystyle W=\frac{CU^2_c}{2} . W=\frac{100\cdot {10}^{-6}\cdot {30}^2}{2}=45\cdot 10^{-3}\) (Дж) = 45 (мДж).
После размыкания ключа вся энергия, накопленная в конденсаторе, будет выделяться на параллельно включенных лампе и резисторе. Согласно закону Джоуля – Ленца, количество теплоты, выделяющееся в промежуток времени \(\Delta t,\) обратно пропорционально сопротивлению, поскольку напряжение u на лампе и резисторе в любой момент времени одно и то же.
Ответ: 27 мДж.
Секрет решения. Понимание схемы является ключом к решению данной задачи. Так как конденсатор заряжен, то после размыкания ключа происходит распределение накопившейся энергии между лампочкой и сопротивлением. С учетом того, что лампочка и резистор соединены параллельно, здесь необходима формула \(\displaystyle Q=\frac{U^2}{R}\Delta t.\) Если бы они были соединены последовательно, то надо было пользоваться формулой \(Q=I^2R\Delta t.\) Выбор формулы определяется видом соединения и постоянством либо напряжения, либо силы тока. Задачу удобнее решать, проводя промежуточные вычисления.
2. На рисунке показана схема электрической цепи, состоящей из источника тока с ЭДС mathcal E=12 В и внутренним сопротивлением r = 1 Ом, двух резисторов с сопротивлениями \(R_{1} = 8\) Ом и \(R_{2} = 3\) Ом, конденсатора электроёмкостью С = 4 мкФ и катушки с индуктивностью L = 24 мкГн. В начальном состоянии ключ К длительное время замкнут. Какое количество теплоты выделится на резисторе R_{2} после размыкания ключа К? Сопротивлением катушки пренебречь.
Необходимая теория:
Конденсатор. Энергия электрического поля
ЭДС. Закон Ома для полной цепи
Дано: «СИ»
E = 12 В;
r = 1 Ом;
R1 = 8 Ом;
R2 = 3 Ом;
С = 4 мкФ; \(4 \cdot 10^{-6}\) Ф;
L = 24 мкГн. \(24 \cdot 10^{-6}\) Гн.
Найти: Q – ?
Решение:
До размыкания ключа электрический ток протекает через последовательно соединённые резисторы \(R_{1}, R_{2}\) и катушку L.
Направление тока I на схеме указано стрелками.
По закону Ома для полной цепи можно определить значение силы тока.
\(\displaystyle I=\frac{E}{R_1+R_2+r}.\)
Проведем расчет значения силы тока.
\(\displaystyle I=\frac{12}{8+3+1}=1\) (А).
Так как конденсатор соединен параллельно с резистором \(R_{2},\) то напряжения у них будут одинаковыми.
\(U_C=U_2; \)
\(U_C\) – напряжение на конденсаторе, \(U_2\) – напряжение на резисторе \(R_{2}.\)
По закону Ома для участка цепи можно записать, что
\(U_2=I\cdot R_2;\ U_2=1\cdot 3=3\) (В).
\(U_C=3\) (В).
Таким образом, до размыкания ключа в конденсаторе была накоплена энергия \(\displaystyle W_C=\frac{CU^2}{2};\ \ W_C=\frac{4\cdot {10}^{-6}\cdot 3^2}{2}=18\cdot {10}^{-6}\) (Дж)=18 (мкДж).
В катушке индуктивности накапливается энергия магнитного поля, которую можно рассчитать по формуле:
\(\displaystyle W_L=\frac{LI^2}{2};\ W_L=\frac{24\cdot {10}^{-6}\cdot 1^2}{2}=12\cdot {10}^{-6}\) (Дж)=12 (мкДж).
После размыкания ключа вся накопленная в элементах цепи энергия выделится в виде тепла на резисторе \(R_{2}.\)
\(Q=W_C+\ W_L;\)
\(Q=18\cdot {10}^{-6}+12\cdot {10}^{-6}=30\cdot {10}^{-6}\)(Дж)=30(мкДж).
Ответ: 30 мкДж.
Секрет решения. Умение читать электрические схемы является ключом к решению подобных задач. Становится очевидным, что конденсатор и резистор \(R_{2}\) соединены параллельно, их напряжения одинаковые, при этом ток через конденсатор не протекает. Пространство между пластинами конденсатора разделено слоем диэлектрика, поэтому на пластинах накапливается электрический заряд, но ток через него не течет.
При протекании тока через катушку в ней накапливается энергия магнитного поля. При этом надо понимать, что сопротивление катушки не влияет на значение тока в цепи, оно по условию равно нулю. Соответственно, напряжение на концах катушки по закону Ома \({(U}_L=I\cdot R_L)\) также равно нулю.
После размыкания ключа накопленные энергии (электрического и магнитного полей) выделяются в виде тепла на резисторе \(R_{2}.\)
3. В цепи, изображённой на рисунке, сопротивление диода
в прямом направлении пренебрежимо мало, а в обратном многократно превышает сопротивление резисторов. При подключении к точке А положительного полюса, а к точке В отрицательного полюса батареи с ЭДС 12 В и пренебрежимо малым внутренним сопротивлением, потребляемая мощность равна 14,4 Вт. При изменении полярности подключения батареи потребляемая мощность оказалась
равной 21,6 Вт. Укажите, как течёт ток через диод и резисторы в обоих случаях, и определите сопротивления резисторов в этой цепи.
Необходимая теория:
Дано:
Е = 12 В;
\(P_{1} = 14,4\) Вт;
\(P_{2} = 21,6\) Вт.
Найти:
\(R_{1}, R_{2}\) – ?
Решение:
Если при подключении батареи потенциал точки А оказывается выше, чем потенциал точки В, \({ \phi }_{A} \textgreater { \phi }_{B} ,\) то ток через диод не течёт, и эквивалентная схема цепи имеет вид, изображённый на рис. 1. Потребляемую мощность можно рассчитать по формуле:
\(\displaystyle P_1=\frac{E^2}{R_2} \) (1), отсюда \(\displaystyle R_2=\frac{E^2}{P_1} .\)
Проведем расчет для \(R_{2}.\)
\(\displaystyle R_2=\frac{{12}^2}{14,4}=10\)(Ом).
Рис. 1
При изменении полярности подключения батареи \({ \phi }_{A} \textless { \phi }_{B} ,\) диод открывается и подключает резистор \(R_{1}\) параллельно резистору \(R_{2}.\) Эквивалентная схема цепи в этом случае изображена на рис. 2.
Рис. 2
При этом потребляемая мощность увеличивается:
\(\displaystyle P_2=\frac{E^2}{R_1}\ +\frac{E^2}{R_2}\) (2). Эта формула для расчета мощности с учетом того, что резисторы \(R_{1}\) и \(R_{2}\) во втором случае соединены параллельно. Общая мощность, выделяемая в цепи, равна сумме мощностей на каждом из резисторов.
Выразим из формулы (2) сопротивление резистора \(R_{1}.\)
\(\displaystyle \frac{E^2}{R_1}=P_2-\frac{E^2}{R_2};R_1=\frac{E^2}{P_2-\frac{E^2}{R_2}}=\frac{E^2R_2}{P_2R_2-E^2}.\)
Подставим численные значения и проведем расчет.
\(\displaystyle R_1=\frac{{12}^2\cdot 10}{21,6\cdot 10-{12}^2}=\frac{1440}{216-144}=20\) (Ом).
Ответ: 20 Ом, 10 Ом.
Секрет решения. В этой задаче может возникнуть сложность с пониманием и принципом работы диода. Для решения задач, встречающихся в ЕГЭ по физике, не требуется глубоких знаний по устройству этого полупроводникового прибора. Достаточно знать, что диод обладает односторонней проводимостью. На схемах направление пропускания тока обозначено стрелкой. При обратном подключении диод закрыт, то есть ток через него не течет.
В остальном задача является стандартной и базируется на известных закономерностях. Если формула (2) очевидна не сразу, то общую мощность, выделяемую в цепи, можно рассмотреть, как мощность на сопротивлении Rобщ, а его можно рассчитать по формуле:
Тогда, общая мощность для второго случая будет равна:
Используя полученное значение для \(R_{2},\) из последней формулы можно вычислить сопротивление резистора \(R_{1}.\)
