Анна Малкова, автор книги для подготовки к ЕГЭ, ведущая годового Онлайн-курса подготовки к ЕГЭ на 100 баллов, руководитель компании «ЕГЭ-студия».
Привет, друзья! Вы смотрите канал Анны Малковой. Наша тема сегодня «Нерешаемые неравенства». Наверняка, такие неравенства вам тоже попадались. Что бы вы с ним ни делали, ничего не получается.
Вот логарифмическое неравенство \(\log _{x}(\sqrt{x^{2}+x-2}+1)\cdot\log _{7}(x^{2}+x+1)\leqslant \log _{x}3\). Давайте посмотрим, здесь разные основания: есть логарифмы по основанию х, а есть логарифм по основанию 7. Если вам это неравенство уже встречалось, то, возможно, вы дошли до такого момента, что дальше идти было некуда, и пришлось бросить.
Давайте посмотрим, что же в нем сложного. Но для начала напишем область допустимых значений. ОДЗ:
\(\left\{\begin{matrix}
x>0\\
x\neq 1\\
x^{2}+x-2\geqslant 0\\
\sqrt{x^{2}+x-2}+1>0\\
x^{2}+x+1>0\\
\end{matrix}\right.\)
Сейчас немного упростим эту систему. Первые два условия оставим без изменения \(x>0, x\neq 1\)
В этом неравенстве \(x^{2}+x-2\geqslant 0\) левую часть мы разложим на множители, то есть найдем корни квадратного уравнения. Вижу, что х=1, корень этого уравнения 1+1-2=0, число -2 тоже корень этого уравнения, значит \((x-1)(x+2)\geqslant 0\).
Напоминаю, как мы решаем квадратичное неравенство вида \(ax^{2}+bx+c\geqslant 0\). Мы раскладываем левую часть неравенства на множители как \(ax^{2}+bx+c=a(x-x_{1})(x-x_{2})\), где \(x_{1}\) и \(x_{2}\) - корни уравнения \(ax^{2}+bx+c=0\).
Дальше у нас выражение \(a(x-x_{1})(x-x_{2})\geqslant 0\). Рисуем ось х, отмечаем точки х1 и х2, рисуем квадратичную параболу, и сейчас мы это сделаем для нашего неравенства.
Следующее неравенство \(\sqrt{x^{2}+x-2}+1>0\). Корень квадратный – величина неотрицательная, а к нему прибавляется 1, то есть результат больше или равен 1, значит, это неравенство выполняется всегда, и мы можем больше его не писать.
И следующие неравенство \(x^{2}+x+1>0\). Решим его Д=1-4<0. У соответствующего квадратного уравнения корней нет, то есть парабола квадратичной функции вся находится над осью х, не спускается ниже ее
Значит, это выражение верно всегда для всех х, его тоже можно не записывать. Вот, что у нас получилось
\(\left\{\begin{matrix}
x>0, x\neq 1\\
(x-1)(x+2)\geqslant 0\\
\end{matrix}\right.\)
Тогда \((x-1)(x+2)\geqslant 0\), но ведь мы написали, что х˃0, тогда х+2 уж точно будет больше 0, и мы получаем, что х˃0, х-1≥0, то есть х≥1, но при этом х≠1, значит, это все равносильно неравенству х˃1. Вот мы и нашли область допустимых значений
ОДЗ: \(\left\{\begin{matrix}
x>0\\
x\neq 1\\
x^{2}+x-2\geqslant 0\\
\sqrt{x^{2}+x-2}+1>0\\
x^{2}+x+1>0\\
\end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}
x>0,x\neq 1\\
(x-1)(x+2)\geqslant 0\\
\end{matrix}\right.\Leftrightarrow x>1 \)
Теперь давайте как-нибудь преобразуем наше неравенство. У нас логарифмы по основанию х слева и справа. Что бы нам с ними сделать?! Есть хорошая формула перехода к другому основанию
\(\log _{a}b=\frac{\log _{c}b}{\log _{c}a}\)
Но ту же самую формулу можно прочитать и справа налево, то есть если у нас есть частные логарифмы с одинаковым основанием, то можно их вот так преобразовать. Давайте поделим обе части на логарифм 3 по основанию х. Так и напишем: «Поделим обе части неравенства на \(\log _{x}3\)». Но мы же собираемся делить на некоторое выражение, а какого оно знака? Оно больше 0 или меньше 0? Или нам, может быть, нужно рассмотреть два случая: когда больше 0 и когда меньше 0?
У нас х˃1 (это мы получили из ОДЗ), тогда \(\log _{3}x> \log _{3}1\), потому что логарифмическая функция с основанием 3 является монотонно возрастающей, и большему значению х соответствует большее значение логарифмической функции.
А что такое \(\log _{3}1\)? Это 0. То есть \(\log _{3}x> 0\), тогда \(\frac{1}{\log _{3}x}=\log _{x}3> 0\).
Поделим обе части нашего неравенства на положительное выражение \(\log _{x}3\). Получаем
\(\frac{(\log _{x}\sqrt{x^{2}+x-2}+1)}{\log _{x}3}\cdot \log _{7}(x^{2}+x+1)\leqslant 1\)
Теперь из этих частных логарифмов по формуле перехода к другому основанию мы сделаем логарифм по основанию 3.
Добавим условие х˃1, при котором мы вообще могли эти преобразования делать.
Получаем, что \(\log _{3}(\sqrt{x^{2}+x-2}+1)\cdot \log _{7}(x^{2}+x+1)\leqslant 1\)
Дальше хорошо бы применить метод замены множителя и каждый из этих логарифмов заменить по известным нам формулам и получить рациональное неравенство. Но нет, метод замены множителей применяется только, если в правой части 0, а у нас в правой части 1, значит этот метод здесь нам ничем не поможет.
Можно сделать замену переменной \(\sqrt{x^{2}+x-2}=t\). А какие же значения принимает эта переменная t? Конечно, \(t\geqslant 0\), но у нас х˃1, а выражение под корнем, как мы говорили, – это (x-1)(x+2). И если х˃1, тогда х-1 больше 0 и х+2 больше 0, тогда мы получаем, что t строго больше 0. Теперь выразим \(x^{2}+x\) через t.
Получаем \(x^{2}+x-2=t^{2}, x^{^{2}}+x+1=t^{2}+3\).
Вот, что у нас получилось \(\log _{3}(t+1)\cdot \log _{7}(t^{2}+3)\leqslant 1\). Неравенство прекрасно упростилось. Осталось его решить относительно t, потом вернуться к х, но нет, потому что тупик. Ничего больше сделать невозможно. Основания логарифмов разные, замену переменной сделать больше не удастся, если мы будем приводить эти логарифмы к одному основанию, мы все равно не получим простейшее логарифмическое неравенство, оно все равно будет сложным, все равно что-то будет в правой части, и метод замены множителей будет неприменим. Мы понимаем, что обычными способами оно не решается. Что же делать?
Решать графически? Если \(\log _{3}(t+1)\), построить легко, то \(\log _{7}(t^{2}+3)\) уже сложнее, а еще и произведение этих логарифмов. Давайте подумаем. Может быть, хотя бы при каких-то значениях t это неравенство выполняется? Постараемся подобрать какое-то решение.
В правой части 1, а как бы нам сделать 1 в левой части, чтобы наше неравенство превратилось в равенство?!
Если у нас t будет = 2, тогда первый логарифм выглядит как \(\log _{3}3\), а второй логарифм как \(\log _{7}(t^{2}+3)\), то есть от 7, вот! Давайте запишем \(\log _{3}3\cdot \log _{7}7=1\). Значит t=2 – решение нашего неравенства. Отлично, одно решение мы нашли. Как найти все остальные? Если мы уже поняли, что ничего такого знакомого, лежащего на поверхности, мы не можем к нашему неравенству применить, давайте применим что-то нестандартное.
Посмотрим на выражение в левой части неравенства: там произведение двух логарифмов и основания этих логарифмов больше 1. Интересно, а как будет вести себя функция \(\log _{3}(t+1)\cdot \log _{7}(t^{2}+3)\) в левой части неравенства? Нет, мы не будем строить ее график, мы просто скажем об одной ее очень важной особенности.
\(f(t)=\log _{3}(t+1)\cdot \log _{7}(t^{2}+3)\)
\(\log _{3}(t+1)\) – монотонно возрастающая функция при t˃0. Так же при t˃0 \(\log _{7}(t^{2}+3)\) монотонно возрастает, значит мы можем сказать, что функция f(t) монотонно возрастает при t˃0, потому что является произведением двух монотонно возрастающих функций.
Также мы знаем, что f(2)=1. А когда же будет выполняться наше неравенство, которое мы можем записать как f(t)≤1.
Перепишем это неравенство в виде f(t)≤f(2). И, поскольку функция f(t) монотонно возрастает, это неравенство выполняется при t≤2, и при этом t˃0, получается 0<t≤2. В самом деле, монотонно возрастающая функция, большему значению аргумента соответствует большее значение функции. И если значение аргумента ≤2, если t≤2, то f(t)≤f(2), и значит, f(t)≤1, неравенство выполняется. Отлично, мы решили неравенство относительно переменной t, пользуясь тем, что функция в левой части неравенства монотонно возрастает. Вернемся к переменной х. Если t от 0 до 2, а t – это \(\sqrt{x^{2}+x-2}\leqslant 2\), а условие t˃0 выполняется, когда х˃0 \(\left\{\begin{matrix} \sqrt{x^{2}+x-2}\leqslant 2\\ x> 1\\
\end{matrix}\right.\)
Решаем эту систему. В первом неравенстве обе части неотрицательные, возводим их в квадрат
\(\left\{\begin{matrix}
x^{2}+x-2\leqslant 4\\
x> 1\\
\end{matrix}\right.\)
\(\left\{\begin{matrix}
x^{2}+x-6\leqslant 0\\
x> 1\\
\end{matrix}\right.\)
Раскладываем левую часть первого неравенства на множители
\(\left\{\begin{matrix}
(x-2)(x+3)\leqslant 0\\
x> 1\\
\end{matrix}\right.\)
Решаем эту систему с помощью числовой прямой оси х, отмечаем точки -3 и 2, рисуем параболу с ветвями вверх, пересекающую ось х в этих точках. Ее решение от -3 до 2, при этом х˃1, отмечаем это
Получаем ответ: \(x \in (1;2 ]\)
Вот такое, друзья, необычное логарифмическое неравенство. Мы нашли для него удобный способ решения с помощью свойств логарифмической функции. У нас есть еще нерешаемые логарифмические неравенства. Ставим лайки, подписываемся на мой канал и ждем новых видео. С вами Анна Малкова!
