previous arrow
next arrow
Slider

Олимпиадная задача с параметром! Необычное решение

 

Анна Малкова, автор книги для подготовки к ЕГЭ, ведущая годового Онлайн-курса подготовки к ЕГЭ на 100 баллов, руководитель компании «ЕГЭ-студия».

Всех приветствую! Это снова Анна Малкова со своими нерешаемыми задачами!

Эта задача олимпиадная, но разбираем мы ее, потому что примерно такие же задачи с параметрами и решаемые тем же способом встречаются также и в вариантах ЕГЭ.

Нам необходимо найти все значения параметра а, при каждом из которых уравнение
4x-\left | 3x-\left | x+a \right | \right |=9\left | x-1 \right | имеет хотя бы один корень.

Мы видим модули: \left | x+a \right |, потом берется \left | 3x-\left | x+a \right | \right |, в правой части тоже модуль. Как-то их слишком много. Хочется решать это уравнение графически. В самом деле, график правой частит мы легко построим, 4х тоже элементарно, это прямая, но как строить \left | 3x-\left | x+a \right | \right |?! Ведь у нас здесь есть параметр а, и мы понимаем, что графиком этого выражения будет что-то непростое. А если мы начнем при разных значениях а это строить и исследовать, мы потратим много времени. Графический способ не очень нам подходит. Может быть, аналитический? Раскрыть все модули? Но и это тоже не простая затея. Если модуль правой части легко раскрывается, то как быть с модулями, вложенными друг в друга?!

Давайте попробуем перенести все в одну часть уравнения. Проще оно от этого не станет, но, может быть, мы что-то придумаем.

9\left | x-1 \right |-4x+\left | 3x-\left | x+a \right | \right |=0

И аналитически сложно, и графически сложно, но если бы мы все-таки решились построить график этого уравнения, чтобы у нас получилось, как вы думаете? Нет, я не предлагаю его строить, но хотя бы что-то сказать об этом графике.
Посмотрите, все х входят в это уравнение первой степени. Значит, то, что у нас в левой части, назовем ее f(x), не содержит ни синусов, ни квадратов, ни корней. То есть график этой функции состоит из линейных участков.
Можно сказать, что график f(x) – ломаная линия, состоящая из каких-то отрезков, лучей. Все части этого графика – это части прямых.
Представим, что все-таки у нас есть этот график. А наше уравнение должно иметь хотя бы один корень. Я не знаю, как выглядит наш график функции, поэтому просто нарисую разные ломаные линии

Если f(x) у меня вот такая, будет ли уравнение иметь хотя бы один корень? Конечно, нет, потому что весь график находится над осью х, и у нас нет таких точек, когда f(x)=0. Этот график нам не подходит.
Сделаем еще один рисунок

Это уже правильнее, потому что у нас есть такие точки, в которых график f(x) пересекает ось х. Но чем же отличаются эти две картинки? Очевидно, в первом случае весь график находился выше оси х, а во втором случае есть такие точки, для которых значения f(x) либо меньше 0, либо равно 0.

Заметим также, что вот такая ситуация нам тоже подойдет, если график f(x) имеет только одну общую точку с осью х, все равно наше уравнение имеет хотя бы одно решение.

Давайте сформулируем задачу так, что «должны найтись такие х, для которых f(x)≤0».
На втором рисунке наименьшее значение функции f(x) было меньше 0, и нам это подходит. На третьей картинке наименьшее значение f(x)=0, и нам это тоже подходит. А на первой картинке наименьшее значение функции было положительным, и нам это не подошло. Значит, мы можем сказать, что уравнение имеет хотя бы одни корень, если неравенство f_{min}(x)\leqslant 0 имеет решение.
Найдем значения параметра а, при которых выполняется неравенство f_{min}(x)\leqslant 0.
Теперь нам необязательно строить весь график, а только ее наименьшее значение, осталось его найти. Но как? Модули же никуда не делись…
Давайте еще раз посмотрим внимательно на формулу функции. Нет-нет, мы не будем строить весь график, давайте скажем, что  y_{1}(x)=9\left | x-1 \right |. Такой график мы строить умеем. Это модуль, сдвинутый на 1 вправо и растянутый в 9 раз.

Дальше будет самое сложное y_{2}=\left | 3x-\left | x+a \right | \right |. Мы не строим его сейчас, но мы понимаем, что это тоже какая-то ломаная.

y_{3}=-4x. Здесь все понятно. Это Прямая, которая проходит через начало координат с угловым коэффициентом -4.

Теперь складываем эти три функции.

Сейчас я скажу одну очень важную вещь и покажу один очень важный прием, который часто используется в задачах с параметрами: сумма линейных функций и есть линейная функция.

Наверняка, вы выдели один классический график, а именно сумму модулей. Вот, что это такое.
Например, вам нужно построить график вот такой суммы модулей

Те, кто учится в крутых матшколах или у меня на онлайн-курсе, узнали эту конструкцию и знают, что получится, и, конечно, знают, что это одна из любимых схем, на которых экзаменаторы строят задачи.

Сначала мы строим отдельно графики слагаемых, а потом мы их складываем. Мы сказали, что сумма двух линейных функций есть линейная функция, поэтому нам достаточно двух точек, чтобы провести участок прямой.

Вот одна из этих точек – точка 3. Значение второго слагаемого в ней равно 0, а значение первого слагаемого в ней равно 4, значит, и сумма равна 4.

Вторая такая точка -1. Значение первого слагаемого в ней равно нулю, а значение второго – равно 4, и сумма равна 4.

Теперь просто соединяем две эти точки отрезком прямой линией. Кстати, мы можем проверить, что в 0 значение этих функций от х будет равно 4.

Что же будет, если -1˃х˃3? Мы складываем две прямые, угловые коэффициенты которых равны 1. Если сумма двух линейных функций есть линейная функция, то угловой коэффициент суммы равен k1+ k2. Легко это проверить и доказать. То есть здесь угловой коэффициент 2.

Левее -1 будет похожая картинка, угловой коэффициент будет k=-2

Вот мы получили такую штучку, которую кто-то называет ведром, кто-то – корытом, а на самом деле это сумма модулей. На этой схеме часто строятся задачи с параметрами.
Теперь вернемся к нашей олимпиадной нерешаемой задачи.
Мы уже поняли, нам нужны угловые коэффициенты каждого из линейных участков.
Запишем, что угловые коэффициенты линейных участков функции f(x): ±9-4±3±1, если х<1, то есть убывающая ветвь графика функции 9|х-1|, то угловой коэффициент f(x) -9-4±3±1. Если х≥1, 9-4±3±1. Кстати, про это выражение мы сразу что-то можем сказать. Ведь независимо от знаков 9-4=5, 5±3±1 все равно будет больше 0. 9-4±3±1>0

А слева от 1 -9-4 – это уже -13, а ±3±1 не сделают этот угловой коэффициент положительным, он все равно меньше 0

-9-4±3±1<0

Нам удалось понять, что если х<1, f(x) – убывает, а если х≥1, то f(x) – возрастает, тогда х=1 – точка минимума нашей функции, причем единственная.
Где же будет достигаться наименьшее значение f(x)? f_{min}(x)=f(1), и значит это значение должно быть меньше 0.

f_{min}(x)=f(1)\leqslant 0

Задача практически решена, осталось немного арифметики.
Найдем f(1) просто подставив 1 в формулу функции.

f(x)=9\left | x-1 \right |+\left | 3x-\left | x+a \right | \right |-4x
f(1)=\left | 3-\left | 1+a \right | \right |-4\leqslant 0

Вспомним, что \left | a-b \right |=\left | b-a \right |

Тогда в левой части можно записать выражение вот так \left | \left | a+1 \right | -3\right |\leqslant 4

Чтобы решить это уравнение, можно сделать небольшую временную замену \left | a+1 \right |=t, t\geqslant 0.

Получаем \left | t-3 \right |\leqslant 4.

Мы помним, как решать такие неравенства, пользуясь геометрическим смыслом модуля, на онлайн-курсе я часто рассказываю об этом.

Рисуем ось t. Вспоминаем, что |t-3| – это расстояние от точки t до точки 3. Эту запись можно прочитать так: расстояние от точки t до точки 3 меньше либо равно 4.

Отмечаем точку 3. Далее отмечаем точки, которые находятся от нее на расстоянии 4: это точка 7 и точка -1. И нам нужны все t, которые находятся от -1 до 7, но при этом у нас еще t≥0

Получаем, что t≤7. Теперь мы возвращаемся к переменной а.

Получаем \left | a+1 \right |\leqslant 7. Решаем точно так же.

Рисуем ось а. И читаем это неравенство так: расстояние от точки а до точки -1 меньше либо равно 7. Отмечаем точку -1. Отмечаем точки на расстоянии 7 от нее. Это точки -8 и 6.

Для всех точек от -8 до 6 расстояние от них до 1 меньше либо равно 7.

Получаем, что a\in \left [ -8;6 \right ].

Конечно, эта задача с параметром сложная. Да, эта задача олимпиадного уровня, однако идея, которую мы здесь применили, встречается также и в задачах ЕГЭ.

Если вы хотите научиться решать любые задачи с параметрами, приглашаю на свой онлайн-курс подготовки к ЕГЭ на 100 баллов. Там мы разбираем все методы решения параметров, от простых графических до вот таких необычных. Подписывайтесь на мой канал. С вами Анна Малкова!

Все видео по математике