Анна Малкова, автор книги для подготовки к ЕГЭ, ведущая Онлайн-курса подготовки к ЕГЭ на 100 баллов, руководитель компании «ЕГЭ-студия».
Дорогие друзья! В этом видео мы разбираем необычную, почти "нерешаемую" задачу.
Это задача олимпиадная, но разбираем мы ее, потому что примерно такие задачи с параметрами и решаемые тем же способом встречаются и в вариантах ЕГЭ.
Нам необходимо найти все значения параметра а, при каждом из которых уравнение
\(4x-\left | 3x-\left | x+a \right | \right |=9\left | x-1 \right |\) имеет хотя бы один корень.
Мы видим модули: \(\left | x+a \right |\), и еще \(\left | 3x-\left | x+a \right | \right |\), в правой части тоже модуль. Слишком много модулей! Хотелось бы решить это уравнение графически. В самом деле, график правой части мы легко построим, график 4х тоже элементарно, это прямая, но как строить \(\left | 3x-\left | x+a \right | \right |\)?! Ведь у нас здесь есть параметр а, и мы понимаем, что график будет что-то непростым. А если мы начнем при разных значениях параметра а это строить и исследовать, мы потратим много времени. Получается, графический способ не подходит. Может быть, аналитический? Раскрыть все модули? Но и это не простая затея. Если модуль в правой части легко раскрывается, то как быть с модулями, вложенными друг в друга?!
Попробуем перенести все в одну часть уравнения.
\(9\left | x-1 \right |-4x+\left | 3x-\left | x+a \right | \right |=0\)
Мы не будем строить график левой части уравнения. Но если бы мы его построили - как бы он выглядел?
Можем ли мы что-то сказать об этом графике?
Пусть f(x) - функция в левой части уравнения. Формула этой функции не содержит ни синусов, ни квадратов, ни корней. Переменная х входит в формулу этой функции в первой степени. Значит, график функции f(x) состоит из линейных участков.
Можно сказать, что график f(x) – ломаная линия, состоящая из отрезков и лучей. Все части этого графика – это части прямых.
Еще раз посмотрим на условие: наше уравнение должно иметь хотя бы один корень. Мы не знаем, как выглядит график функции, поэтому просто нарисуем разные ломаные линии
На этом рисунке весь график функции f(x) находится над осью х, и уравнение не имеет ни одного корня. Условие f(x)=0 не выполняется ни для одного значения х. Этот график нам не подходит.
Сделаем еще один рисунок
На этот раз у нас есть такие точки, в которых график f(x) пересекает ось х. Но чем же отличаются эти две картинки? Очевидно, в первом случае весь график находился выше оси х, а во втором случае есть такие точки, для которых значения f(x) либо меньше 0, либо равно 0.
Заметим, что нам также подойдет ситуация, когда график f(x) имеет только одну общую точку с осью х. В этом случае наше уравнение ровно одно решение, условие задачи выполнено.
Переформулируем условие задачи.
Надо найти все значения параметра, при которых неравенство f(x)≤0» имеет хотя бы одно решение.
Можно сформулировать немного по-другому: Найти все значения параметра а, при которых наименьшее значение функции f(x) меньше или равно нуля.
Как это связано с рисунками? На втором рисунке наименьшее значение функции f(x) меньше 0, и нам это подходит. На третьей картинке наименьшее значение f(x) равно нулю, и нам это тоже подходит. А на первой картинке наименьшее значение функции было положительным, и нам это не подошло. Значит, мы можем сказать, что уравнение имеет хотя бы одни корень, если неравенство \(f_{min}(x)\leqslant 0\) имеет решение.
Найдем значения параметра а, при которых выполняется неравенство \(f_{min}(x)\leqslant 0\).
Получается, что не обязательно строить весь график. Нам нужно только наименьшее значение функции f(x). Как же его найти?
Посмотрим внимательно на формулу функции. Начнем с графика \(y_{1}(x)=9\left | x-1 \right |\). Такой график мы строить умеем. Это модуль, сдвинутый на 1 вправо и растянутый в 9 раз.
Второе слагаемое: \(y_{2}=\left | 3x-\left | x+a \right | \right |\). Мы не строим этот график, но понимаем, что это тоже какая-то ломаная.
И наконец, \(y_{3}=-4x\). Здесь все понятно. Это прямая, которая проходит через начало координат с угловым коэффициентом -4.
Теперь складываем эти три функции.
Запомним, что сумма линейных функций есть линейная функция.
Давайте поясним это утвеждение. Скорее всего, вы видели один классический график, а именно сумму модулей.
Например, вам нужно построить график следующей функции:
Те, кто учится в крутых матшколах или на моем онлайн-курсе, узнали эту конструкцию. Это одна из любимых схем, на которых экзаменаторы строят задачи.
Сначала строим отдельно графики слагаемых, а потом мы их складываем. Мы сказали, что сумма двух линейных функций есть линейная функция, поэтому нам достаточно двух точек, чтобы провести участок прямой.
Одна из этих точек – точка 3. Значение второго слагаемого в ней равно 0, а значение первого слагаемого в ней равно 4, значит, и сумма равна 4.
Вторая такая точка: х= -1. Значение первого слагаемого в ней равно нулю, а значение второго равно 4, и сумма равна 4.
Теперь соединяем две эти точки отрезком прямой линии.
Что же будет, если x больше трех? Мы складываем две прямые, угловые коэффициенты которых равны 1. Если сумма двух линейных функций есть линейная функция, то угловой коэффициент суммы равен k1+ k2. Получим луч с угловым коэффициентом 2.
Если х меньше, чем -1, получим луч с угловым коэффициентом k=-2
Мы нарисовали график суммы модулей. На этой схеме часто строятся задачи с параметрами. А нам она нужна как иллюстрация принципа сложения графиков.
Теперь вернемся к нашей нерешаемой олимпиадной задачи.
Мы поняли, что нам нужны угловые коэффициенты каждого из линейных участков.
Запишем, что угловые коэффициенты линейных участков функции f(x) равны ±9 -4 ± 3± 1. Если х<1, что соответствует убывающей ветви графика функции 9|х-1|, то угловой коэффициент f(x) равен -9 -4 ± 3 ±1. Заметим, что это выражение отрицательно при любой расстановке знаков "+" и "-".
Если х≥1, то угловой коэффициент равен 9 -4 ±3 ± 1. Это выражение положительно при любой расстановке знаков "+" и "-".
Это значит, что х<1, то f(x) монотонно убывает. И если х≥1, то f(x) монотонно возрастает. Значит, х=1 – точка минимума нашей функции, причем единственная.
Где же будет достигаться наименьшее значение f(x)? Очевидно, в точке минимума. \(f_{min}(x)=f(1)\), и это значение должно быть меньше нуля.
\(f_{min}(x)=f(1)\leqslant 0\)
Задача практически решена, осталось немного арифметики.
Найдем f(1), просто подставив х=1 в формулу функции.
\(f(x)=9\left | x-1 \right |+\left | 3x-\left | x+a \right | \right |-4x\)
\(f(1)=\left | 3-\left | 1+a \right | \right |-4\leqslant 0\)
Вспомним, что \(\left | a-b \right |=\left | b-a \right |\)
Выражение в левой части уравнения запишем в виде: \(\left | \left | a+1 \right | -3\right |\leqslant 4\)
Чтобы решить это уравнение, можно сделать небольшую временную замену \(\left | a+1 \right |=t\), \(t\geqslant 0\).
Получаем \(\left | t-3 \right |\leqslant 4\).
Мы помним, как решать такие неравенства, пользуясь геометрическим смыслом модуля.
Рисуем ось t. Вспоминаем, что |t-3| – это расстояние от точки t до точки 3. Эту запись можно прочитать так: расстояние от точки t до точки 3 меньше либо равно 4.
Отмечаем точку 3. Далее отмечаем точки, которые находятся от нее на расстоянии 4: это точка 7 и точка -1. Нам нужны все t, которые находятся от -1 до 7, но при этом t≥0
Получаем, что t≤7. Теперь мы возвращаемся к переменной а.
Имеем неравенство \(\left | a+1 \right |\leqslant 7\). Решаем тем же способом.
Рисуем ось а. И читаем это неравенство так: расстояние от точки а до точки -1 меньше либо равно 7. Отмечаем точку -1. Отмечаем точки на расстоянии 7 от нее. Это точки -8 и 6.
Для всех точек от -8 до 6 расстояние от них до 1 меньше либо равно 7.
Получаем, что \(a\in \left [ -8;6 \right ]\).
Задача, которую мы решили, взята из вариантов олимпиад по математике, однако идея, которую мы применили, встречается также и в задачах ЕГЭ.
Если вы хотите научиться решать любые задачи с параметрами, приглашаю на свой онлайн-курс подготовки к ЕГЭ на 100 баллов. Там мы разбираем все методы решения параметров, от простых графических до вот таких необычных. Подписывайтесь на мой канал. С вами Анна Малкова!
