Анна Малкова, автор книги для подготовки к ЕГЭ, ведущая годового Онлайн-курса подготовки к ЕГЭ на 100 баллов, руководитель компании «ЕГЭ-студия».
Всем привет! Я Анна Малкова, учитель математики. Для своих учеников я часто придумываю забавные задачи, и простые, и сложные. Вот такая сегодня задача:
«Снеговик собран из трех снежных шаров, поставленных друг на друга, причем их радиусы относятся как 5:3:2, а высота снеговика равна 1,5 метра. Найдите массу снеговика (в кг). Шары считать идеальными, число π принять равным 3,14, плотность снега равной 400 кг/м3. Ответ округлить до целого числа килограммов, объемом морковки пренебречь.»
Вот наш снеговичок
Он состоит из трех шаров, отношение радиусов этих шаров как 5:3:2, и отношение диаметров такое же \(\pi \approx 3,14; \rho= 400 \frac{kg}{m^{3}}; r_{1}:r_{2}:r_{3}=5:3:2=D_{1}:D_{2}:D_{3}\)
Формула для объема шара \(\vee =\frac{4}{3}\pi R^{3}=\frac{4}{3\cdot 8}\pi D^{3}\)
А у нас 3 шара, значит \(\vee =\vee_{1}+\vee_{2}+\vee_{3} =\frac{4\cdot \pi }{3\cdot 8} (D_{1}^{3}+D_{2}^{3}+D_{3}^{3})\)
Теперь необходимо посчитать диаметр. Общая высота снеговика 1,5 метра, а всего у нас 10 частей, получается
\(D_{1}=0,75 m=\frac{3}{4}m
D_{2}=0,45 m=\frac{9}{20}m
D_{3}=0,3 m=\frac{3}{10}m\)
Теперь подставляем их в общую формулу \(\frac{4\pi }{3\cdot 8}((\frac{3}{4})^{3}+(\frac{9}{20})^{3}+(\frac{3}{10})^{3})\)
3 выносим за скобки, получаем \(\frac{4\pi \cdot 3^{3}}{6\cdot 8}((\frac{1}{4})^{3}+(\frac{3}{20})^{3}+(\frac{1}{10})^{3})\)
Теперь мы все приведем к одному знаменателю и 23, то есть 8 вынесем за скобки. Получаем \(\frac{4\pi }{3\cdot 8\cdot 8}((\frac{3}{2})^{3}+(\frac{9}{10})^{3}+(\frac{3}{5})^{3})\)
4 и 8 сокращается, остается \(\frac{\pi }{48}((\frac{15}{10})^{3}+(\frac{9}{10})^{3}+(\frac{6}{10})^{3})\)
Теперь выносим за скобки 103 и 33, в скобках остается \(\frac{\pi \cdot 3^{3}}{48\cdot 1000}(5^{3}+3^{3}+2^{3})\)
Сократим и получим \(\frac{\pi \cdot 9}{16\cdot 1000}(125+27+8)\)
Считаем \(\frac{\pi \cdot 9\cdot 160}{16\cdot 1000}\) и сокращаем \(\frac{\pi \cdot 9}{100}\)
Это мы нашли объем, а теперь масса \(m=\rho \cdot \vee =\frac{400\cdot 3,14\cdot 9}{100}\)
Теперь считаем \(3,14\cdot 36=113,04\approx 113 kg\)
Напишите в комментариях, у кого был самый точный ответ, и порадуйтесь за себя!
С вами Анна Малкова!
