Задача 19, контейнеры с сахаром
В порту имеются только заполненные контейнеры, масса каждого из которых равна 20 тонн или 40 тонн. В некоторых контейнерах находится сахарный песок. Количество контейнеров с сахарным песком составляет 40% от общего числа контейнеров.
а) Может ли масса контейнеров с сахарным песком составлять 50% от общей массы?
б) Может ли масса контейнеров с сахарным песком составлять 60% от общей массы?
в) Какую наименьшую долю в процентах может составлять масса контейнеров с сахарным песком от общей массы?
Решение:
| 20 тонн | 40 тонн | |
| всего контейнеров | \(a\) | \(b\) |
| из них с сахаром | \(x\) | \(y\) |
Очевидно, \(x\leq a\), \(y\leq b\).
Будем считать массу контейнеров десятками тонн, тогда
\(x+y=0,4(a+b)\); масса всех контейнеров \(2a+4b\) (десятка тонн).
а) Составим систему:
\(\left\{\begin{matrix}
x+y=0,4(a+b), \\
2x+4y=0,5(2a+4b);\end{matrix}\right.\)
\(\left\{\begin{matrix}
5(x+y)=2(a+b), \\
2x+4y=a+2b.\end{matrix}\right.\)
Заметим, что \((a+b)\vdots 5\).
Умножим первое уравнение на 2, второе на 5, вычтем из второго первое, найдем \(y=\displaystyle \frac{a+6b}{10}\); подставим в первое уравнение, получим \(x=\displaystyle \frac{3a-2b}{10}\).
\(\left\{\begin{matrix}
x=\displaystyle \frac{3a-2b}{10}\geq 0,\\
y=\displaystyle \frac{a+6b}{10},\end{matrix}\right.\)
значит, \(a\geq \displaystyle \frac{2b}{3};\)
\((a+b)\vdots 5\), значит, \(a+b\geqslant 5.\)
Возьмем \(a+b=5\).
Вариант \(a=2\), \(b=3\) походит, в этом случае \(x=0\), \(y=\displaystyle \frac{2+18}{10}=2\).
Масса всех контейнеров \(2a+4b=4+12=16\);
масса контейнеров с сахаром \(2y=8\).
Отношение масс равно 0,5.
Да, можно.
Пример:
Было 2 контейнера по 20 тонн, 3 контейнера по 40 тонн, из них с сахаром 2 контейнера по 40 тонн.
б) Предположим, что масса контейнеров с сахаром может составить 60% от общей массы.
Составим систему уравнений:
\(\left\{\begin{matrix}
x+y=0,4(a+b), \\
2x+4y=0,6(2a+4b);\end{matrix}\right.\)
\(\left\{\begin{matrix}
5(x+y)=2(a+b), \\
5(x+2y)=3(2a+4b).\end{matrix}\right.\)
Раскроем скобки:
\(\left\{\begin{matrix}
5x+5y=2a+2b, \\
5x+10y=6a+12b.\end{matrix}\right.\)
Вычитаем из второго уравнения первое:
\(5y=4a+10b\); подставляем в первое:
\(5x+4a+10b=2a+2b\);
\(5x=-2a-8b\leq 0\), приехали :)
\(x=0\), если \(a=0\) и \(b=0\), то есть никаких контейнеров не было.
Противоречие.
Либо \(x\leq 0\), снова противоречие. Нет, такого быть не может.
б) Пусть доля массы контейнеров с сахаром от общей массы составляет \(p%\).
Составим систему:
\(\left\{\begin{matrix}
5x+5y=2(a+b), \\
2x+4y=\displaystyle \frac{p}{100}(2a+4b).\end{matrix}\right.\)
Так же, как в пунктах (а) и (b), выражаем из системы \(x\) и \(y\),
\(
\left\{\begin{matrix}
x=\displaystyle \frac{(80-p)a+(80-2p)b}{100}, \\
y=\displaystyle \frac{(p-40)a+(2p-40)b}{100};\end{matrix}\right.\)
\(x\geq 0,\)
\(y\geq 0. \)
Нарисуем контейнеры. С сахаром - закрашенные.
Контейнеры с сахаром составляют 40% количества всех контейнеров. Чтобы отношение их массы к массе всех контейнеров было наименьшим, возьмем только "легкие" контейнеры с сахаром. Чем больше "легких" контейнеров заполнены сахаром, тем меньше отношение их массы к массе все контейнеров.
Эта доля не больше, чем в случае, когда все "легкие" контейнеры заполнены сахаром, а все "тяжелые" чем-то ещё. Тогда \(x=a\), \(y=0\).
Подставим в систему (\(\ast \)):
\(\left\{\begin{matrix}
(80-p)a+2(40-p)b=100a, \\
(p-40)a+2(p-20)b=0;\end{matrix}\right.\)
\(
\left\{\begin{matrix}
(80-2p)b=(20+p)a, \\
2(p-20)b=(40-p)a.\end{matrix}\right.
\)
Делим первое уравнение на второе;
\(\displaystyle \frac{40-p}{p-20}=\frac{20+p}{40-p}; \)
\((40-p)^{2}=p^{2}-400;\)
\(p^{2}-(40-p)^{2}=400;\)
\((p-40-p)(p-40-p)=400;\)
\(2p-40=10;\)
\(p=25,\) доказали.
Точнее, доказали мы, что доля массы контейнеров с сахаром по отношению к массе всех контейнеров не больше 25%.
Приведем пример, когда эта доля равна 25%.
Выразим из системы (*) \(x\) и \(y\).
Если \(p=25\), то \(x=\displaystyle \frac{55a+30b}{100}=\frac{11a+6b}{20};\)
\(y=\displaystyle \frac{10b-15a}{100}=\frac{2b-3a}{20}\), \(a\) - четное.
Подойдет \(a=2, \; b=3\).
Тогда \(x=2, \; y=0\).
Было 2 контейнера по 20 тонн, 3 контейнера по 40 тонн, из них с сахаром 2 контейнера по 20 тонн.
Масса контейнеров с сахаром 40 тонн, масса всех контейнеров \(2\cdot 20+3\cdot 40=160\) тонн, что в 4 раза больше массы контейнеров с сахаром, доля равна 25%.
Нашли наименьшую долю, она равна 25%.
