Простейшие тригонометрические уравнения. Часть 2

Предыдущая статья была посвящена главной идее решения простейших тригонометрических уравнений: нарисовать единичную окружность, определить положения нужных точек и написать формулы для углов, соответствующим этим точкам.

Чтобы эта идея проявилась наиболее отчётливо, мы ограничились рассмотрением случаев, когда в правой части уравнений стояли табличные значения тригонометрических функций. Теперь, когда главная идея ясна, можно перейти к общему случаю. Как же записываются
решения простейших тригонометрических уравнений, если в правой части стоит произвольное число $a$ ?

Уравнение $sin\mkern 2mu x=a$

Уравнение $sin\mkern 2mu x=a$ имеет решения только при условии $|a| \le 1$ . Рассмотрением таких $a$ мы и ограничиваемся.

Случай $a = \pm 1$ разобран в предыдущей статье. При
$|a| \leq 1$ решения уравнения $sin\mkern 2mu x=a$ изображаются горизонтальной парой точек тригонометрического круга, имеющих ординату $a$ .

Осталось записать эти решения.

Здесь не обойтись без новой функции, обозначающей угол, синус которого равен числу $a$ .

Проблема, однако, в том, что таких углов бесконечно много – функция не получается. (Если последняя фраза для вас не ясна, то вам стоит прочитать нашу статью «Что такое функция?»)

Чтобы упомянутая функция существовала, нужно ограничиться определнным промежутком углов, на котором каждое значение синуса принимается только один раз. Самый удобный выбор – отрезок $\left[ -\genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle \pi}{\displaystyle 2}; \genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle \pi}{\displaystyle 2}\right]$ .

Взгляните на тригонометрический круг и убедитесь сами: любому значению синуса из промежутка $\left[ -1; 1 \right]$ отвечает одно-единственное значение угла на отрезке $\left[ -\genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle \pi}{\displaystyle 2}; \genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle \pi}{\displaystyle 2}\right]$ .

Вот теперь наше соответствие, сопоставляющее числу $a \in \left[ -1; 1 \right]$ угол $\varphi \in \left[ -\genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle \pi}{\displaystyle 2}; \genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle \pi}{\displaystyle 2}\right]$ такой, что $sin\mkern 2mu \varphi=a$ , становится функцией. Эта функция носит красивое название – арксинус.

Арксинусом числа $a$ называется угол $\varphi \in \left[ -\genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle \pi}{\displaystyle 2}; \genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle \pi}{\displaystyle 2}\right]$ , такой, что $sin\mkern 2mu \varphi=a$ .

Обозначение: $\varphi = arcsin \mkern 3mu a$ . Область определения арксинуса – отрезок $\left[ -1; 1 \right]$ . Область значений – отрезок $\left[ -\genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle \pi}{\displaystyle 2}; \genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle \pi}{\displaystyle 2}\right]$ .

Можно запомнить фразу «арксинусы живут справа». Не забывайте только, что не просто справа, но ещё и на отрезке $\left[ -\genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle \pi}{\displaystyle 2}; \genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle \pi}{\displaystyle 2}\right]$ .

Например:

$arcsin \mkern 3mu \genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle \sqrt{2}}{\displaystyle 2}=\genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle \pi}{\displaystyle 4}\,\,$ , так как $\,\, \genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle \pi}{\displaystyle 4} \in \left[ -\genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle \pi}{\displaystyle 2}; \genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle \pi}{\displaystyle 2}\,\right]\,$ и $\,\, sin\mkern 2mu \genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle \pi}{\displaystyle 4}=\genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle \sqrt{2}}{\displaystyle 2}$

$arcsin \left( - \mkern 3mu \genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle \sqrt{3}}{\displaystyle 2}\right) =-\genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle \pi}{\displaystyle 3}\,$ , так как $\,\, -\genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle \pi}{\displaystyle 3} \in \left[ -\genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle \pi}{\displaystyle 2}; \genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle \pi}{\displaystyle 2}\,\right]\,$ и $\,\, sin \left(-\mkern 2mu \genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle \pi}{\displaystyle 3}\right)=-\genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle \sqrt{3}}{\displaystyle 2}$

$arcsin \mkern 3mu \genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle 1}{\displaystyle 2} =\genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle \pi}{\displaystyle 6}$

$arcsin \left( - \mkern 3mu \genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle 1}{\displaystyle 2}\right) =-\genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle \pi}{\displaystyle 6}$

$arcsin \mkern 3mu 0=0$

$arcsin \mkern 3mu 1 =\genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle 1}{\displaystyle 2}$

$arcsin \mkern 3mu \left( -1 \right) =-\genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle \pi}{\displaystyle 2}$

Обратите внимание, что $arcsin \mkern 3mu \left( -a \right) =-arcsin \mkern 3mu a$ . Иными словами, арксинус является нечётной функцией.

Теперь мы готовы вернуться к уравнению $sin\mkern 2mu x=a$ . Снова изобразим горизонтальную пару точек с ординатой $a$ . Углы, отвечающие правой точке, обозначим $x_1$ . Углы, отвечающие левой точке, обозначим $x_2$ .

Не составляет труда записать эти углы:

$x_1=arcsin \mkern 3mu a + 2 \pi n, \,\,n \in Z;$

$x_2=\pi - arcsin \mkern 3mu a + 2 \pi n, \,\,n \in Z;$

Собственно, это и есть ответ. При желании можно объединить обе формулы в одну – с помощью конструкции, известной вам из предыдущей статьи:

$x=\left ( -1 \right )^k arcsin \mkern 3mu a + \pi k, \,\,k \in Z.$

При записи ответа в случае отрицательного $a$ можно использовать нечётность арксинуса.

Например, для уравнения $sin\mkern 2mu x=-\genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle 1}{\displaystyle 3}$ имеем:

$x=\left ( -1 \right )^k arcsin \mkern 3mu \left ( -\genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle 1}{\displaystyle 3} \right ) + \pi k=\left ( -1 \right )^{k+1} arcsin \mkern 3mu \genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle 1}{\displaystyle 3} + \pi k, \,\,k \in Z.$

Уравнение $cos\mkern 2mu x=a$

Уравнение $cos\mkern 2mu x=a$ также имеет решения лишь при $|a| \leq 1$ . Случай $a= \pm 1$ рассмотрен в предыдущей статье.

Решения уравнения $cos\mkern 2mu x=a$ при $|a| \le 1$ изображаются вертикальной парой точек с абсциссой $a$ :

Как вы уже догадались, сейчас возникнет новая функция – арккосинус. Кто лучший кандидат в арккосинусы – верхняя или нижняя точка? Принципиальной разницы нет, но люди выбрали верхнюю. «Арккосинусы живут сверху», и не просто сверху, а на отрезке $\left [ 0; \pi \right ]$ .

Арккосинусом числа $a$ называется угол $\varphi \in \left [ 0; \pi \right ]$ , такой, что $cos\mkern 2mu\varphi=a$ .

Обозначение: $\varphi = arccos \mkern 3mu a$ . Область определения арккосинуса – отрезок $\left [ -1; 1 \right ]$ . Область значений –отрезок $\left [ 0; \pi \right ]$ .

Промежуток $\left [ 0; \pi \right ]$ выбран потому, что на нём каждое значение косинуса принимается только один раз. Иными словами, каждому значению косинуса, от $-1$ до $1$ , соответствует одно единственное значение угла из промежутка $\left [ 0; \pi \right ]$ .

Например:

$arccos \mkern 3mu \genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle \sqrt{3}}{\displaystyle 2}=\genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle \pi}{\displaystyle 6}\,\,$ , так как $\,\, \genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle \pi}{\displaystyle 6} \in \left[ 0; \pi \right] \,$ и $\,\, cos\mkern 2mu \genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle \pi}{\displaystyle 6}=\genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle \sqrt{3}}{\displaystyle 2}$

$arccos \left( - \mkern 3mu \genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle \sqrt{2}}{\displaystyle 2}\right) =-\genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle 3 \pi}{\displaystyle 4}\,$ , так как $\,\, -\genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle 3 \pi}{\displaystyle 4} \in \left[ 0; \pi \,\right]\,$ и $\,\, cos \left(\mkern 2mu \genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle 3 \pi}{\displaystyle 4}\right)=-\genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle \sqrt{2}}{\displaystyle 2}$

$arccos \mkern 3mu \genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle 1}{\displaystyle 2} =\genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle \pi}{\displaystyle 3}$

$arccos \left( - \mkern 3mu \genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle 1}{\displaystyle 2}\right) =-\genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle 2 \pi}{\displaystyle 3}$

$arccos \mkern 3mu 0=\genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle \pi}{\displaystyle 2}$

$arccos \mkern 3mu 1 =0$

$arccos \mkern 3mu \left( -1 \right) =\pi$

Внимание! Арккосинус не является ни чётной, ни нечётной функцией. Имеет место следующее очевидное соотношение:

$arccos \mkern 3mu \left( -a \right) =\pi -arccos \mkern 3mu a$

Теперь мы можем решить уравнение $cos\mkern 2mu x=a$ для произвольного $a$ , удовлетворяющего неравенству $|a| \le 1$ .

Снова отметим на окружности вертикальную пару точек с абсциссой $a$ . Углы, отвечающие верхней точке, обозначим $x_1$ . Углы, отвечающие нижней точке, обозначим $x_2$ .

Легко написать формулы для этих углов:

$x_1=arccos \mkern 3mu a + 2 \pi n, \,\,n \in Z;$

$x_2= - arccos \mkern 3mu a + 2 \pi n, \,\,n \in Z;$

Объединяем их в одну формулу и записываем ответ:

$x=\pm arccos \mkern 3mu a + 2 \pi n, \,\,n \in Z.$

Уравнения $tg\mkern 2mu x=a$ и $ctg\mkern 2mu x=a$

Как и в случае арксинуса, роль арктангенса отведена правой точке. Точнее:

Арктангенсом числа $a$ называется угол $\varphi \in \left [ -\genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle \pi}{\displaystyle 2}; \genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle \pi}{\displaystyle 2} \right ]$ , такой, что $tg\mkern 2mu x=a$ .

Обозначение: $\varphi=arctg\mkern 4mu a$ . Область определения арктангенса – промежуток $\left ( -\infty ;+ \infty \right )$ . Область значений –

интервал $\left ( -\genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle \pi}{\displaystyle 2} ; \genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle \pi}{\displaystyle 2} \right )$ .

На нашем рисунке $arctg \mkern 3mu a$ является одним из углов, соответствующих точке $A$ .

А почему в определении арктангенса исключены концы промежутка – точки $\, \, \pm \genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle \pi}{\displaystyle 2}\,\,$ ? Дело в том, что тангенс в этих точках не определён. Не существует числа $a$ , равного тангенсу какого либо из этих углов.

Записать решения уравнения $tg\mkern 2mu x=a$ совсем просто. Вспоминаем второе полезное наблюдение из предыдущей статьи (как описывать диаметральную пару) и пишем ответ:

$x=arctg \mkern 3mu a + \pi n, \,\,n \in Z.$

Тем самым мы фактически разобрались и с уравнением $ctg\mkern 2mu x=a$ при $a \neq 0$ . В этом случае оно равносильно уравнению $tg\mkern 2mu x=\genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle 1}{\displaystyle a}$ , и можно сразу записать ответ:

$x=arctg \mkern 3mu \genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle 1}{\displaystyle a} + \pi n, \,\,n \in Z.$

Но можно использовать и арккотангенс. Такая функция тоже существует, и вот её определение.

Арккотангенсом числа $a$ называется угол $\varphi \in \left ( 0; \pi \right )$ , такой, что $ctg\mkern 2mu x=a$ .

Тогда решения уравнения $ctg\mkern 2mu x=a$ при любом $a$ имеют вид:

$x=arcctg \mkern 3mu a + \pi n, \,\,n \in Z.$

Подведём итог. Соберём формулы для решений простейших тригонометрических уравнений в небольшую таблицу.

Уравнение	Решения
$sin\mkern 2mu x=a, \|a\| \leq 1$	$x=\left ( -1 \right )^k arcsin \mkern 2mu a + \pi k, k \in Z$
$cos\mkern 2mu x=a, \|a\| \leq 1$	$x=\pm arccos \mkern 3mu a + 2 \pi n, n \in Z$
$tg \mkern 3mu x=a$	$x=arctg \mkern 3mu a + \pi n, n \in Z$
$ctg \mkern 3mu x=a$	$x=arcctg \mkern 3mu a + \pi n, n \in Z$

Обратите внимание, что все частные случаи типа $sin \mkern 3mu x = 0, cos \mkern 3mu x = 1, tg \mkern 3mu x = 0,$ , с которых мы начинали изучение простейших тригонометрических уравнений, тоже вписываются в эту схему. Однако стоит ли записывать, например, решение уравнения $sin \mkern 3mu x = 0,$ в виде