Эта задача появилась на Тренировочной работе 18 декабря 2019 года для 11-го класса.
Необычная задача. Очевидно одно – что «перебирать» возможные варианты не имеет смысла – их будет слишком много. Как же ее решить?
Известно, что \(a, \; b, \; c, \; d, \; e\) и \(f\) - это числа 2, 3, 4, 5, 6 и 8, расставленные без повторений в некотором, возможно, ином порядке.
а) Может ли выполняться равенство: \(\displaystyle\frac{a}{b}+\frac{c}{d}+\frac{e}{f}=\frac{13}{2}\)?
б) Может ли выполняться равенство: \(\displaystyle\frac{a}{b}+\ \frac{c}{d}+\ \frac{e}{f}=\frac{481}{120}\)?
в) Какое наименьшее значение может принимать сумма \(\displaystyle\frac{a}{b}+\ \frac{c}{d}+\ \frac{e}{f}\)?
Решение:
а) Да, может. Пример: \(\displaystyle\frac{5}{2} + \frac{6}{3} + \frac{8}{4} = \frac{13}{2}.\)
б) Нет, не может. Докажем это.
Предположим, что \(\displaystyle\frac{a}{b}+\ \frac{c}{d}+\ \frac{e}{f}=\frac{481}{120}\).
Мы сложили три дроби и получили дробь со знаменателем 120.
Заметим, что \(120 = 2^3 \cdot 3 \cdot 5.\) Значит, у одной из дробей знаменатель был равен 5, у другой – кратный трем, то есть равен 3 или 6, а у третьей равен \(2^3\), то есть 8.
Действительно, число 120 является наименьшим общим кратным для чисел 3, 5, 8 и для чисел 5, 6, 8, принадлежащих исходному набору чисел. Рассмотрим оба этих варианта. И запишем выражение \(\displaystyle\frac{a}{b}+\frac{c}{d}+\frac{e}{f}\) как \(\displaystyle\frac{adf+cbf+ebd}{bdf}\). Просто привели три дроби к одному знаменателю.
1. Пусть \(bdf=120,\) то есть \(b = 3, \; d = 5, \; f = 8.\)
Получим: \(\displaystyle\frac{a}{b}+\frac{c}{d}+\frac{e}{f}=\frac{a}{3}+\frac{c}{5}+\frac{e}{8}=\frac{40a+24c+15e}{120}\).
Если \(b = 3, \; d = 5, \; f = 8\), то оставшиеся три числа из набора – это 2, 4 и 6.
Получим: \(\displaystyle\frac{40a+24c+15e}{120}=\frac{15\left(a+c+e\right)+9\left(c+e\right)+16e}{120}\le \frac{15\left(2+4+6\right)+9\left(4+6\right)+16\cdot6}{120},\) то есть
\(\displaystyle\frac{a}{3}+\frac{c}{5}+\frac{e}{8}\leq \frac{180+90+96}{120}=\frac{366}{120}< \frac{481}{120} \).
2. Пусть \(b = 6, \; d = 5, \; f = 8\).
В этом случае \(\displaystyle\frac{a}{b}+\frac{c}{d}+\frac{e}{f}=\frac{a}{6}+\frac{c}{5}+\frac{e}{8}=\frac{20a+24c+15e}{120}=\frac{15\left(a+b+c\right)+5\left(a+c\right)+4c}{120}\).
Если \(b = 6, \; d = 5, \; f = 8,\) то оставшиеся три числа из набора – это 2, 3 и 4.
Тогда \(\displaystyle\frac{15\left(a+c+e\right)+5\left(a+c\right)+4c}{120}\le \frac{15\left(2+3+4\right)+5\left(3+4\right)+4\cdot4}{120}\), то есть \(\displaystyle\frac{a}{b}+\frac{c}{ d}+\frac{e}{f}\leq \frac{186}{120}<\frac{481}{120}.\)
Значит, мы не сможем получить \(\displaystyle\frac{481}{120}.\)
Заметим, что самое большое из наименьших общих кратных чисел 2, 3, 4, 5, 6 и 8 – это число 120. Значит, наибольший общий знаменатель для дроби \(\displaystyle\frac{adf+cbf+ebd}{bdf}\) равен 120.
в) Найдем наименьшее значение суммы \(\displaystyle\frac{a}{b}+\ \frac{c}{d}+\ \frac{e}{f}\).
\(\displaystyle\frac{a}{b}+\frac{c}{d}+\frac{e}{f}=\frac{adf+cbf+ebd}{bdf}\geq \frac{adf+cbf+ebd}{120}\), так как наибольший возможный общий знаменатель для дробей со знаменателями 2, 3, 4, 5, 6 и 8 – это 120.
Наименьшее общее кратное чисел b, d, f, принадлежащих нашему набору, равно 120 в следующих случаях:
1) Если \(b = 3, \; d = 5, \; f = 8.\)
2) Если \(b = 6, \; d = 5, \; f = 8.\)
В первом случае оставшиеся три числа из набора – это 2, 4 и 6. Получим:
\(\displaystyle\frac{a}{3}+\frac{c}{5}+\frac{e}{8}=\frac{40a+24c+15e}{120}=\frac{15(a+c+e)+9(c+e)+16e}{120}\geq \frac{15(2+4+6)+9(2+4)+16\cdot 2}{120}=\frac{284}{120}.\)
Во втором случае оставшиеся три числа из набора – это 2, 3 и 4. Получим:
\(\displaystyle\frac{a}{6}+\frac{c}{5}+\frac{e}{8}=\frac{20a+24c+15e}{120}=\frac{15(a+c+e)+5(a+c)+4c}{120}\geq \frac{15(2+3+4)+5(2+3)+4\cdot 2}{120}=\frac{168}{120}=\frac{7}{5}.\)
Значит, \(\displaystyle\frac{a}{b}+\frac{c}{d}+\frac{e}{f}\geq \frac{7}{5}.\) Это оценка.
Приведем пример, когда \(\displaystyle\frac{a}{b}+\frac{c}{d}+\frac{e}{f}=\frac{7}{5}.\)
\(\displaystyle\frac{3}{6}+\frac{2}{5}+\ \frac{4}{8}=\frac{7}{5}.\)
