Тренировочная работа 18 декабря 2019 года. Задача 19

Эта задача появилась на Тренировочной работе 18 декабря 2019 года для 11-го класса.

Необычная задача. Очевидно одно – что «перебирать» возможные варианты не имеет смысла – их будет слишком много. Как же ее решить?

Известно, что a, b, c, d, e и f - это числа 2, 3, 4, 5, 6 и 8, расставленные без повторений в некотором, возможно, ином порядке.

а) Может ли выполняться равенство: $\frac{a}{b}+\frac{c}{d}+\frac{e}{f}=\frac{13}{2}$ ?

б) Может ли выполняться равенство: $\frac{a}{b}+\ \frac{c}{d}+\ \frac{e}{f}=\frac{481}{120}?\$

в) Какое наименьшее значение может принимать сумма $\frac{a}{b}+\ \frac{c}{d}+\ \frac{e}{f}$ ?

Решение:

а) Да, может. Пример: $\frac{5}{2} + \frac{6}{3} + \frac{8}{4} = \frac{13}{2}.$

б) Нет, не может. Докажем это.

Предположим, что $\frac{a}{b}+\ \frac{c}{d}+\ \frac{e}{f}=\frac{481}{120}$ .

Мы сложили три дроби и получили дробь со знаменателем 120.

Заметим, что $120 = 2^3 \cdot 3 \cdot 5.$ Значит, у одной из дробей знаменатель был равен 5, у другой – кратный трем, то есть равен 3 или 6, а у третьей равен $2^3$ , то есть 8.

Действительно, число 120 является наименьшим общим кратным для чисел 3, 5, 8 и для чисел 5, 6, 8, принадлежащих исходному набору чисел. Рассмотрим оба этих варианта. И запишем выражение $\frac{a}{b}+\frac{c}{d}+\frac{e}{f}$ как $\frac{adf+cbf+ebd}{bdf}$ . Просто привели три дроби к одному знаменателю.

Пусть $bdf=120,$ то есть b = 3, d = 5, f = 8.
Получим: $\frac{a}{b}+\frac{c}{d}+\frac{e}{f}=\frac{a}{3}+\frac{c}{5}+\frac{e}{8}=\frac{40a+24c+15e}{120}$ .

Если $b = 3, d = 5, f = 8$ , то оставшиеся три числа из набора – это 2, 4 и 6. Получим: $\frac{40a+24c+15e}{120}=\ \frac{15\ \left(a+c+e\right)+9\left(c+e\right)+16e}{120}\ \le \frac{15\ \left(2+4+6\right)+9\left(4+6\right)+16\cdot6}{120},\$ то есть $\frac{a}{3}+\ \frac{c}{5}+\ \frac{e}{8}\leq \ \frac{180+90+96\ \ }{120}=\frac{366}{120}\textless \frac{481}{120}.$
Пусть $b = 6, d = 5, f = 8$ . В этом случае $\frac{a}{b}+\frac{c}{d}+\frac{e}{f}=\frac{a}{6}+\frac{c}{5}+\frac{e}{8}=\frac{20a+24c+15e}{120}=\frac{15\left(a+b+c\right)+5\left(a+c\right)+4c}{120}$ . Если b = 6, d = 5, f = 8, то оставшиеся три числа из набора – это 2, 3 и 4. Тогда $\frac{15\left(a+c+e\right)+5\left(a+c\right)+4c}{120}\ \le \ \frac{15\left(2+3+4\right)+5\left(3+4\right)+4\cdot4}{120}\$ , то есть $\frac{a}{b}+\ \frac{c}{\ d}+\ \frac{e}{f}\ \leq \frac{186}{120}\ \textless\frac{481}{120}.$

Значит, мы не сможем получить $\frac{481}{120}.$

Заметим, что самое большое из наименьших общих кратных чисел 2, 3, 4, 5, 6 и 8 – это число 120. Значит, наибольший общий знаменатель для дроби $\frac{adf+cbf+ebd}{bdf}$ равен 120.

в) Найдем наименьшее значение суммы $\frac{a}{b}+\ \frac{c}{d}+\ \frac{e}{f}$ .

$\frac{a}{b}+\frac{c}{d}+\frac{e}{f}=\frac{adf+cbf+ebd}{bdf}\geq \frac{adf+cbf+ebd}{120}$ , так как наибольший возможный общий знаменатель для дробей со знаменателями 2, 3, 4, 5, 6 и 8 – это 120.

Наименьшее общее кратное чисел b, d, f, принадлежащих нашему набору, равно 120 в следующих случаях:

1) Если b = 3, d = 5, f = 8.

2) Если b = 6, d = 5, f = 8.

В первом случае оставшиеся три числа из набора – это 2, 4 и 6. Получим:

Во втором случае оставшиеся три числа из набора – это 2, 3 и 4. Получим:.

Значит, $\frac{a}{b}+\frac{c}{d}+\frac{e}{f}\ \geq \frac{7}{5}.$ Это оценка. Приведем пример, когда $\frac{a}{b}+\frac{c}{d}+\frac{e}{f}=\frac{7}{5}.$
$\frac{3}{6}+\ \frac{2}{5}+\ \frac{4}{8}=\frac{7}{5}.$

Благодарим за то, что пользуйтесь нашими публикациями. Информация на странице «Тренировочная работа 18 декабря 2019 года. Задача 19» подготовлена нашими авторами специально, чтобы помочь вам в освоении предмета и подготовке к ЕГЭ и ОГЭ. Чтобы успешно сдать необходимые и поступить в высшее учебное заведение или техникум нужно использовать все инструменты: учеба, контрольные, олимпиады, онлайн-лекции, видеоуроки, сборники заданий. Также вы можете воспользоваться другими материалами из данного раздела.

Публикация обновлена: 11.09.2023

Тренировочная работа 18 декабря 2019 года. Задача 19

Это полезно