Эта задача появилась на Тренировочной работе 18 декабря 2019 года для 11-го класса.
Необычная задача. Очевидно одно – что «перебирать» возможные варианты не имеет смысла – их будет слишком много. Как же ее решить?
Известно, что a, b, c, d, e и f - это числа 2, 3, 4, 5, 6 и 8, расставленные без повторений в некотором, возможно, ином порядке.
а) Может ли выполняться равенство: ?
б) Может ли выполняться равенство:
в) Какое наименьшее значение может принимать сумма ?
Решение:
а) Да, может. Пример:
б) Нет, не может. Докажем это.
Предположим, что .
Мы сложили три дроби и получили дробь со знаменателем 120.
Заметим, что Значит, у одной из дробей знаменатель был равен 5, у другой – кратный трем, то есть равен 3 или 6, а у третьей равен
, то есть 8.
Действительно, число 120 является наименьшим общим кратным для чисел 3, 5, 8 и для чисел 5, 6, 8, принадлежащих исходному набору чисел. Рассмотрим оба этих варианта. И запишем выражение как
. Просто привели три дроби к одному знаменателю.
- Пусть
то есть b = 3, d = 5, f = 8.
Получим:
.
Если
, то оставшиеся три числа из набора – это 2, 4 и 6. Получим:
то есть
- Пусть
. В этом случае
. Если b = 6, d = 5, f = 8, то оставшиеся три числа из набора – это 2, 3 и 4. Тогда
, то есть
Значит, мы не сможем получить
Заметим, что самое большое из наименьших общих кратных чисел 2, 3, 4, 5, 6 и 8 – это число 120. Значит, наибольший общий знаменатель для дроби равен 120.
в) Найдем наименьшее значение суммы .
, так как наибольший возможный общий знаменатель для дробей со знаменателями 2, 3, 4, 5, 6 и 8 – это 120.
Наименьшее общее кратное чисел b, d, f, принадлежащих нашему набору, равно 120 в следующих случаях:
1) Если b = 3, d = 5, f = 8.
2) Если b = 6, d = 5, f = 8.
В первом случае оставшиеся три числа из набора – это 2, 4 и 6. Получим:
Во втором случае оставшиеся три числа из набора – это 2, 3 и 4. Получим:.
Значит, Это оценка. Приведем пример, когда
Благодарим за то, что пользуйтесь нашими публикациями. Информация на странице «Тренировочная работа 18 декабря 2019 года. Задача 19» подготовлена нашими авторами специально, чтобы помочь вам в освоении предмета и подготовке к ЕГЭ и ОГЭ. Чтобы успешно сдать необходимые и поступить в высшее учебное заведение или техникум нужно использовать все инструменты: учеба, контрольные, олимпиады, онлайн-лекции, видеоуроки, сборники заданий. Также вы можете воспользоваться другими материалами из данного раздела.
Публикация обновлена: 11.09.2023