previous arrow
next arrow
Slider

Сборник  «36 тренировочных вариантов для подготовки к ЕГЭ» под редакцией И. В. Ященко, 2020 год. Вариант 1, задача 18

Найдите все значения a, при каждом из которых уравнение

x^4+4x^3+4ax-16x-16+8a-a^2=0

имеет не менее трёх корней.

Решение:

x^4+4x^3+4ax-16x-16+8a-a^2=0

Сгруппируем слагаемые. Заметим, что

-a^2+8a-16=-(a-4)^2.

Получим:

x^4-(a-4)^2+4x^3+4x-16x=

=(x^2-a+4)(x^2+a-4)+4x(x^2+a-4)=

=(x^2+a-4)(x^2-a+4+4x)=(x^2+a-4)((x+2)^2-a).

Уравнение примет вид:

(x^2+a-4)((x+2)^2-a)=0, и оно равносильно совокупности:

\left[\begin{array}{ccc}x^2=4-a \\(x+2)^2=a \\\end{array}\right.

Исходное уравнение имеет не менее 3 решений, если оба уравнения совокупности имеют решение. Это значит, что a\geq0 и a\leq4. Проверим случаи совпадения корней. Если a=0, то совокупность уравнений \left[\begin{array}{ccc}x^2=4 \\x=-2 \\\end{array}\right. имеет ровно 2 решения.

Значит, a=0 не подходит. Аналогично для a=4.

Окончательный ответ: a\in (0;4).