Вариант 1, задача 18 - тренировочные задания ЕГЭ по математике. И. В. Ященко, 2020 год.

Найдите все значения a, при каждом из которых уравнение

$x^4+4x^3+4ax-16x-16+8a-a^2=0$

имеет не менее трёх корней.

Решение:

$x^4+4x^3+4ax-16x-16+8a-a^2=0$

Сгруппируем слагаемые. Заметим, что

$-a^2+8a-16=-(a-4)^2.$

Получим:

$x^4-(a-4)^2+4x^3+4x-16x=$

$=(x^2-a+4)(x^2+a-4)+4x(x^2+a-4)=$

$=(x^2+a-4)(x^2-a+4+4x)=(x^2+a-4)((x+2)^2-a).$

Уравнение примет вид:

$(x^2+a-4)((x+2)^2-a)=0$ , и оно равносильно совокупности:

$\left[\begin{array}{ccc}x^2=4-a \\(x+2)^2=a \\\end{array}\right.$

Исходное уравнение имеет не менее 3 решений, если оба уравнения совокупности имеют решение. Это значит, что $a\geq0$ и $a\leq4$ . Проверим случаи совпадения корней. Если $a=0$ , то совокупность уравнений $\left[\begin{array}{ccc}x^2=4 \\x=-2 \\\end{array}\right.$ имеет ровно 2 решения.

Значит, $a=0$ не подходит. Аналогично для $a=4$ .

Окончательный ответ: $a\in (0;4).$

Сборник «36 тренировочных вариантов для подготовки к ЕГЭ» под редакцией И. В. Ященко, 2020 год. Вариант 1, задача 18

Это полезно