Найдите все значения \(a\), при каждом из которых уравнение \(x^4+4x^3+4ax-16x-16+8a-a^2=0\) имеет не менее трёх корней.
Решение:
\(x^4+4x^3+4ax-16x-16+8a-a^2=0.\)
Сгруппируем слагаемые. Заметим, что \(-a^2+8a-16=-(a-4)^2.\)
Получим:
\(x^4-(a-4)^2+4x^3+4x-16x=(x^2-a+4)(x^2+a-4)+4x(x^2+a-4)=\)
\(=(x^2+a-4)(x^2-a+4+4x)=(x^2+a-4)((x+2)^2-a).\)
Уравнение примет вид:
\((x^2+a-4)((x+2)^2-a)=0\), и оно равносильно совокупности:
\(\left[
\begin{array}{ccc}
x^2=4-a, \\
(x+2)^2=a .\\
\end{array}
\right. \)
Исходное уравнение имеет не менее 3 решений, если оба уравнения совокупности имеют решение. Это значит, что \(a\geq0\) и \(a\leq4.\)
Проверим случаи совпадения корней. Если \(a=0\), то совокупность уравнений \(\left[
\begin{array}{ccc}
x^2=4, \\
x=-2 \\
\end{array}
\right.\) имеет ровно 2 решения.
Значит, \(a=0\) не подходит. Аналогично для \(a=4.\)
Окончательный ответ: \(a\in (0;4).\)
