Найдите все значения \(a\), при каждом из которых уравнение
\(cos\sqrt{2\pi ax-4x^2}+cos2\sqrt{2\pi ax-4x^2}=0\)
имеет ровно два решения.
Решение:
Сделаем замену \(\sqrt{2\pi ax-4x^2}=t.\)
Получим:
\(cost+cos2t=0.\)
\(2cos^2 t+cost-1=0.\)
Сделаем замену \(cost=z; \ |z|\leq1.\)
\(2z^2+z-1=0.\)
\(D=9;\)
\(z=\frac{-1\pm3}{4}\); \(\begin{matrix}
z_1=-1\\
z_2=\frac{1}{2} \hfill
\end{matrix} .\)
\(\left[
\begin{array}{ccc}
cos\,t=-1 \\
cos\,t=\frac{1}{2} \hfill \\
\end{array}
\right.;
\) \(\left[
\begin{array}{ccc}
t=\pi+2\pi n, \, n \in Z \\
t=\pm\frac{\pi}{3}+2\pi k, \, k \in Z \\
\end{array}
\right. .\)
Оценим \( t=\sqrt{2 \pi ax-4x^2}.\)
Очевидно, \( t\geq0.\)
Выражение под корнем:
\(2 \pi ax-4x^2=-(4x^2-2 \pi ax)=\)
\(-(4x^2-2\cdot2x\cdot\frac{\pi a}{2}+(\frac{\pi a}{2})^2)+(\frac{\pi a}{2})^2=\)
\(=(\frac{\pi a}{2})^2-(2x-\frac{\pi a}{2})^2;\)
пусть \(2x=y;\)
\(t=\sqrt{(\frac{\pi a}{2})^2-(2x-\frac{\pi a}{2})^2}=\sqrt{(\frac{\pi a}{2})^2-(y-\frac{\pi a}{2})^2}.\)
В координатах \((y;t)\) уравнение задаёт верхнюю полуокружность с центром в точке \((\frac{\pi a}{2};0)\) и радиусом, равным \(|\frac{\pi a}{2}|.\)
Уравнение имеет ровно 2 решения, если
\(\frac{\pi}{3} <\frac{\pi}{2}|a|<\pi,\) то есть
\(\frac{1}{3}< \frac{|a|}{2}<1;\)
\(\frac{2}{3}<|a|<2.\)
Ответ: \(a \in (-2; -\frac{2}{3}) \cup (\frac{2}{3};2).\)
