Найдите все значения \(a\), при каждом из которых уравнение \(cos\sqrt{2\pi ax-4x^2}+cos2\sqrt{2\pi ax-4x^2}=0\) имеет ровно два решения.
Решение:
Сделаем замену: \(\sqrt{2\pi ax-4x^2}=t.\)
Получим:
\(cost+cos2t=0.\)
\(2cos^2 t+cost-1=0.\)
Сделаем замену: \(cost=z; \ |z|\leq1.\)
\(2z^2+z-1=0.\)
\(D=9;\)
\(z=\displaystyle \frac{-1\pm3}{4}; \)
\(z_1=-1, \ z_2=\displaystyle \frac{1}{2} .\)
\(\left[
\begin{array}{ccc}
cost=-1, \\
cost=\displaystyle \frac{1}{2} ;\\
\end{array}
\right. \; \left[
\begin{array}{ccc}
t=\pi+2\pi n, \, n \in Z, \\
t=\pm\displaystyle \frac{\pi}{3}+2\pi k, \, k \in Z. \\
\end{array}
\right.\)
Оценим \(t=\sqrt{2 \pi ax-4x^2}.\)
Очевидно, \( t\geq0.\)
Выражение под корнем:
\(2 \pi ax-4x^2=-\left (4x^2-2 \pi ax\right )=-\left (4x^2-2\cdot2x\cdot\displaystyle \frac{\pi a}{2}+\left (\displaystyle \frac{\pi a}{2}\right )^2\right )+\left (\displaystyle \frac{\pi a}{2}\right)^2=\)
\(=\left (\displaystyle \frac{\pi a}{2}\right)^2-\left (2x-\displaystyle \frac{\pi a}{2}\right)^2.\)
Пусть \(2x=y;\)
\(t=\sqrt{\left(\displaystyle \frac{\pi a}{2}\right)^2-\left(2x-\displaystyle \frac{\pi a}{2}\right)^2}=\sqrt{\left(\displaystyle \frac{\pi a}{2}\right)^2-\left(y-\displaystyle \frac{\pi a}{2}\right)^2}.\)
В координатах \((y;t)\) уравнение задаёт верхнюю полуокружность с центром в точке \(\left (\displaystyle \frac{\pi a}{2};0\right)\) и радиусом, равным \(\left |\displaystyle \frac{\pi a}{2}\right |.\)
Уравнение имеет ровно 2 решения, если
\(\displaystyle \frac{\pi}{3}< \frac{\pi}{2}|a|< \pi,\) то есть
\(\displaystyle \frac{1}{3}< \frac{|a|}{2}<1;\)
\(\displaystyle \frac{2}{3}< |a|< 2.\)
Ответ: \(a \in \left(-2; -\displaystyle \frac{2}{3}\right) \cup \left(\displaystyle \frac{2}{3};2\right).\)
