previous arrow
next arrow
Slider

Сборник «36 тренировочных вариантов для подготовки к ЕГЭ» под редакцией И. В. Ященко, 2020 год. Вариант 26, задача 18

Найдите все значения а, при каждом из которых уравнение

cos\sqrt{2\pi ax-4x^2}+cos2\sqrt{2\pi ax-4x^2}=0

имеет ровно два решения.

Решение:

Сделаем замену \sqrt{2\pi ax-4x^2}=t

Получим:

cost+cos2t=0.

2cos^2 t+cost-1=0

Сделаем замену cost=z; \ |z|\leq1

2z^2+z-1=0

D=9;

z=\frac{-1\pm3}{4}; \begin{matrix}z_1=-1\\z_2=\frac{1}{2}. \hfill\end{matrix}

\left[\begin{array}{ccc}cos\,t=-1 \\cos\,t=\frac{1}{2} \hfill \\\end{array}\right.; \left[\begin{array}{ccc}t=\pi+2\pi n, \, n \in Z \\t=\pm\frac{\pi}{3}+2\pi k, \, k \in Z \\\end{array}\right.

Оценим t=\sqrt{2 \pi ax-4x^2}.

Очевидно, t\geq0.

Выражение под корнем:

2 \pi ax-4x^2=-(4x^2-2 \pi ax)=
-(4x^2-2\cdot2x\cdot\frac{\pi a}{2}+(\frac{\pi a}{2})^2)+(\frac{\pi a}{2})^2=

=(\frac{\pi a}{2})^2-(2x-\frac{\pi a}{2})^2;

пусть 2x=y;

t=\sqrt{(\frac{\pi a}{2})^2-(2x-\frac{\pi a}{2})^2}=\sqrt{(\frac{\pi a}{2})^2-(y-\frac{\pi a}{2})^2}

В координатах (y;t) уравнение задаёт верхнюю полуокружность с центром в точке (\frac{\pi a}{2};0) и радиусом, равным |\frac{\pi a}{2}|.

Уравнение имеет ровно 2 решения, если

\frac{\pi}{3}\textless\frac{\pi}{2}|a|\textless\pi, то есть

\frac{1}{3}\textless \frac{|a|}{2}\textless1;

\frac{2}{3}\textless|a|\textless2.

Ответ: a \in (-2; -\frac{2}{3}) \cup (\frac{2}{3};2).