Решите неравенство: \(0,5^{-\frac{x-2}{2x+4}} \cdot 10^x \cdot x^{-2}\geq \displaystyle \frac{32^{-\frac{x-2}{2x+4}}\cdot40^x}{16x^2}.\)
Решение:
\(0,5^{-\frac{x-2}{2x+4}} \cdot 10^x \cdot x^{-2}\geq \displaystyle \frac{32^{-\frac{x-2}{2x+4}}\cdot40^x}{16x^2}.\)
Сделаем замену переменной: \(-\displaystyle \frac{x-2}{2x+4}=\frac{2-x}{2x+4}=y;\)
\(\displaystyle \frac{0,5^y\cdot10^x}{x^2}\geq\frac{32^y\cdot10^x\cdot4^x}{16x^2}.\)
Разделим обе части неравенства на \(10^x> 0\) и умножим на \(x^2\) при условии \(x\ne0.\)
\(\left\{\begin{matrix}
0,5^y\geq\displaystyle \frac{32^y\cdot4^x}{16},\\
x\ne0.
\end{matrix}\right. \)
Решим первое неравенство системы:
\(64^y\cdot4^x\leq16;\)
\(4^{3y}\cdot4^x\leq16;\)
\(4^{3y+x}\leq4^2;\)
\(3y+x\leq2.\)
Мы воспользовались свойством монотонного возрастания функции \(f(t)=4^t:\)
\(3\cdot \displaystyle \frac{2-x}{2x+4}+x\leq2;\)
\(\displaystyle \frac{6-3x}{2x+4}+x\leq2;\)
\(\displaystyle \frac{6-3x+2x^2+4x}{2x+4}-2\leq0;\)
\(\displaystyle \frac{6-3x+2x^2+4x-4x-8}{2x+4}\leq0;\)
\(\displaystyle \frac{2x^2-3x-2}{2x+4}\leq0;\)
\(2x^2-3x-2=2(x-2)(x+0,5).\)
\(\displaystyle \frac{(x-2)(x+0,5)}{x+2}\leq0;\) с учётом условия \(x\ne0\) получим:
\(x\in(-\infty;-2)\cup[-0,5;0)\cup(0;2].\)
