previous arrow
next arrow
Slider

Сборник  «36 тренировочных вариантов для подготовки к ЕГЭ» под редакцией И. В. Ященко, 2020 год. Вариант 32, задача 15

Решите неравенство:

0,5^{-\frac{x-2}{2x+4}} \cdot 10^x \cdot x^{-2}\geq\frac{32^{-\frac{x-2}{2x+4}}\cdot40^x}{16x^2}.

Решение:

0,5^{-\frac{x-2}{2x+4}} \cdot 10^x \cdot x^{-2}\geq\frac{32^{-\frac{x-2}{2x+4}}\cdot40^x}{16x^2}.

Сделаем замену переменной:

-\frac{x-2}{2x+4}=\frac{2-x}{2x+4}=y;

\frac{0,5^y\cdot10^x}{x^2}\geq\frac{32^y\cdot10^x\cdot4^x}{16x^2}

Разделим обе части неравенства на 10^x\textgreater0 и умножим на x^2 при условии x\ne0.

\left\{\begin{matrix}0,5^y\geq\frac{32^y\cdot4^x}{16}\\x\ne0\end{matrix}\right.

Решим первое неравенство системы.

64^y\cdot4^x\leq16

4^{3y}\cdot4^x\leq16;

4^{3y+x}\leq4^2

3y+x\leq2.

Мы воспользовались свойством монотонного возрастания функции f(t)=4^t

3\cdot \frac{2-x}{2x+4}+x\leq2

\frac{6-3x}{2x+4}+x\leq2

\frac{6-3x+2x^2+4x}{2x+4}-2\leq0

\frac{6-3x+2x^2+4x-4x-8}{2x+4}\leq0

\frac{2x^2-3x-2}{2x+4}\leq0

2x^2-3x-2=2(x-2)(x+0,5)

\frac{(x-2)(x+0,5)}{x+2}\leq0; с учётом условия x\ne0 получим:

x\in(-\infty;-2)\cup[-0,5;0)\cup(0;2]