previous arrow
next arrow
Slider

Сборник  «36 тренировочных вариантов для подготовки к ЕГЭ» под редакцией И. В. Ященко, 2020 год. Вариант 36, задача 15

Решите неравенство:

log^2_{|x+1|}(x+1)^4+log_2(x+1)^2\leq22.

Решение:

log^2_{|x+1|}(x+1)^4+log_2(x+1)^2\leq22.

Сделаем замену переменной:

|x+1|=t, \, t\textgreater 0, \, t\ne1.

Тогда (x+1)^4=t^4, \, (x+1)^2=t^2

Получим:

log^2_t t^4+log_t^4=4.

Так как t\textgreater0, \, log_t t^4=4.

16+log_2 t^2\leq22

log_2 t^2\leq6

t^2\leq2^6

t^2\leq64

Вернёмся к переменной x:

\left\{\begin{matrix}|x+1|^2\leq64\\ |x+1|\ne0\\|x+1|\ne1\end{matrix}\right.

\left\{\begin{matrix}(|x+1|-8)(|x+1|+8)\leq0\\ x\ne-1\\x\ne0; \,x\ne-2\end{matrix}\right. \Leftrightarrow\left\{\begin{matrix}|x+1|\leq8\\ x\ne-1;\\x\ne0; x\ne-2\end{matrix}\right. \Leftrightarrow

 \Leftrightarrow\left\{\begin{matrix}-8\leq x+1\leq8\\ x\ne -1\\ x\ne0; x\ne-2\end{matrix}\right.\ \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}-9\leq x\leq7\\ x\ne -1\\ x\ne0; x\ne-2\end{matrix}\right.

Ответ: x\in[-9;-2)\cup(-2;-1)\cup(-1;0)\cup(0;7]