Решите неравенство: \(log^2_{|x+1|}(x+1)^4+log_2(x+1)^2\leq22.\)
Решение:
Сделаем замену переменной: \(|x+1|=t, \, t > 0, \, t\ne1.\)
Тогда \((x+1)^4=t^4, \, (x+1)^2=t^2.\)
Получим: \(log^2_t t^4+log_t^4=4.\)
Так как \(t> 0, \, log_t t^4=4.\)
\(16+log_2 t^2\leq22;\)
\(log_2 t^2\leq6;\)
\(t^2\leq2^6;\)
\(t^2\leq64.\)
Вернёмся к переменной \(x\):
\( \left\{\begin{matrix}
|x+1|^2\leq64,\\ |x+1|\ne0,
\\|x+1|\ne1; \end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}
(|x+1|-8)(|x+1|+8)\leq0,\\ x\ne-1,
\\x\ne0, \, x\ne-2; \end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}
|x+1|\leq8,\\ x\ne-1,
\\x\ne0, \ x\ne-2; \end{matrix}\right. \Leftrightarrow \)
\( \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}
-8\leq x+1\leq8,\\ x\ne -1,
\\ x\ne0, \ x\ne-2; \end{matrix}\right.\ \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}
-9\leq x\leq7,\\ x\ne -1,
\\ x\ne0, \ x\ne-2. \end{matrix}\right. \)
Ответ: \(x\in[-9;-2)\cup(-2;-1)\cup(-1;0)\cup(0;7].\)
