previous arrow
next arrow
Slider

Сборник  «36 тренировочных вариантов для подготовки к ЕГЭ» под редакцией И. В. Ященко, 2020 год. Вариант 36, задача 18

Найдите все значения а, при каждом из которых уравнение

64x^6+4x^2=(3x+a)^3+3x+a

не имеет корней.

Решение:

64x^6+4x^2=(3x+a)^3+3x+a

Сделаем замену переменных:

4x^2=t, \, 3x+a=z Получим:

t^3+t=z^3+z

Рассмотрим функцию f(y)=y^3+y.

f(y) - нечётна; f для всех y, следовательно, f(y) монотонно возрастает и каждое своё значение принимает ровно 1 раз. Это значит, что если f(t)=f(z), то t=z.

Получим: 4x^2=3x+a

Найдём, при каких значениях a уравнение 4x^2=3x+a не имеет решений.

4x^2-3x-a=0

D=9+16a; чтобы квадратное уравнение не имело действительных корней, необходимо и достаточно, чтобы выполнялось условие D\textless0

9+16a\textless0

a\textless-\frac{9}{16}

Ответ: a\textless-\frac{9}{16}