Найдите все значения \(a\), при каждом из которых уравнение \(64x^6+4x^2=(3x+a)^3+3x+a\) не имеет корней.
Решение:
\(64x^6+4x^2=(3x+a)^3+3x+a.\)
Сделаем замену переменных: \(4x^2=t, \, 3x+a=z.\)
Получим: \(t^3+t=z^3+z.\)
Рассмотрим функцию \(f(y)=y^3+y.\)
\(f(y)\) — нечётна; \(f'(y)=3y^2+1> 0\) для всех \(y,\) следовательно, \(f(y)\) монотонно возрастает и каждое своё значение принимает ровно 1 раз.
Это значит, что если \(f(t)=f(z)\), то \(t=z.\)
Получим: \(4x^2=3x+a.\)
Найдём, при каких значениях \(a\) уравнение \(4x^2=3x+a\) не имеет решений.
\(4x^2-3x-a=0.\)
\(D=9+16a;\) чтобы квадратное уравнение не имело действительных корней, необходимо и достаточно, чтобы выполнялось условие \(D< 0.\)
\(9+16a< 0;\)
\(a< -\displaystyle \frac{9}{16}.\)
Ответ: \(a< -\displaystyle \frac{9}{16}.\)
