Найдите все значения \(a\), при каждом из которых уравнение \(ax^2+2(a+2)x+(a+5)=0\) имеет два корня, расстояние между которыми больше 1.
Решение:
Если \(ax^2+bx+c\) — квадратное уравнение, то его корни:
\(x_1=\displaystyle \frac{-b-\sqrt{D}}{2a}; \, x_2=\displaystyle \frac{-b+\sqrt{D}}{2a}.\)
Разность корней уравнения равна \(|x_2-x_1|=\displaystyle \frac{\sqrt{D}}{|a|}=\frac{\sqrt{b^2-4ac}}{|a|}.\)
В нашем уравнении:
\(ax^2+2(a+2)x+(a+5)=0;\)
\(D=4(a+2)^2-4a(a+5)=4(a^2+4a+4)-4a^2-20a=-4a+16;\)
\(x_2-x_1=\displaystyle \frac{\sqrt{16-4a}}{|a|}.\)
Получим: \(\displaystyle \frac{\sqrt{16-4a}}{|a|} > 1.\)
Если \(a > 0,\) получим:
\(\left\{\begin{matrix}
\sqrt{16-4a}> a,\\
a> 0;
\end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}
16-4a > a^2,\\
a > 0;
\end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}
a^2+4a-16 < 0,\\
a > 0;
\end{matrix}\right. \Leftrightarrow 0< a< 2\sqrt{5}-2 .\)
Если \(a< 0\), получим:
\(\left\{\begin{matrix}
a< 0, \\ \displaystyle \frac{\sqrt{16-4a}}{-a}> 1; \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}
a< 0, \\ \sqrt{16-4a}< -a;\end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}
a< 0, \\ 16-4a> a^2;\end{matrix}\right. \Leftrightarrow \)
\(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} a< 0, \\ a^2+4a-16< 0; \end{matrix}\right.\Leftrightarrow -2-2\sqrt{5}< a < 0.\)
Ответ: \(a\in(-2-2\sqrt{5};0)\cup(0;2\sqrt{5}-2).\)
