Найдите все значения \(a\), при каждом из которых уравнение
\(ax^2+2(a+2)x+(a+5)=0\)
имеет два корня, расстояние между которыми больше 1.
Решение:
Если \(ax^2+bx+c\) – квадратное уравнение, то его корни:
\(x_1=\frac{-b-\sqrt{D}}{2a}; \, x_2=\frac{-b+\sqrt{D}}{2a}.\)
Разность корней уравнения равна \(|x_2-x_1|=\frac{\sqrt{D}}{|a|}=\frac{\sqrt{b^2-4ac}}{|a|}.\)
В нашем уравнении:
\(ax^2+2(a+2)x+(a+5)=0;\)
\(D=4(a+2)^2-4a(a+5)=\)
\(=4(a^2+4a+4)-4a^2-20a=\)
\(=-4a+16;\)
\(x_2-x_1=\frac{\sqrt{16-4a}}{|a|}.\)
Получим: \(\frac{\sqrt{16-4a}}{|a|} >1.\)
Если \(a >0,\) получим:
\(\left\{\begin{matrix}
\sqrt{16-4a} > a\\
a > 0\end{matrix}\right. \Leftrightarrow\)
\(\left\{\begin{matrix}
16-4a > a^2\\
a > 0
\end{matrix}\right. \Leftrightarrow\)
\(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}
a^2+4a-16 < 0\\
a > 0\end{matrix}\right. \Leftrightarrow\) \(0 < a < 2\sqrt{5}-2 .\)
Если \(a < 0\), получим:
\(\left\{\begin{matrix}
a < 0 \\
\frac{\sqrt{16-4a}}{-a} > 1\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\)
\(\left\{\begin{matrix}
a < 0 \\
\sqrt{16-4a} < -a\end{matrix}\right. \Leftrightarrow\)
\(\left\{\begin{matrix}
a < 0\\
16-4a > a^2\end{matrix}\right. \Leftrightarrow \)
\(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}
a < 0 \\
a^2+4a-16 <0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\)
\(-2-2\sqrt{5} < a < 0.\)
Ответ: \(a\in(-2-2\sqrt{5};0)\cup(0;2\sqrt{5}-2).\)
