previous arrow
next arrow
Slider

Сборник «36 тренировочных вариантов для подготовки к ЕГЭ» под редакцией И. В. Ященко, 2020 год. Вариант 5, задача 18

Найдите все значения а, при которых уравнение

ax^2+2(a+2)x+(a+5)=0

имеет два корня, расстояние между которыми больше 1.

Решение:

Если ax^2+bx+c – квадратное уравнение, то его корни

x_1=\frac{-b-\sqrt{D}}{2a}; \, x_2=\frac{-b+\sqrt{D}}{2a},

Разность корней уравнения равна |x_2-x_1|=\frac{\sqrt{D}}{|a|}=\frac{\sqrt{b^2-4ac}}{|a|}

В нашем уравнении

ax^2+2(a+2)x+(a+5)=0

D=4(a+2)^2-4a(a+5)=

=4(a^2+4a+4)-4a^2-20a=

=-4a+16;

x_2-x_1=\frac{\sqrt{16-4a}}{|a|}.

Получим: \frac{\sqrt{16-4a}}{|a|}\textgreater1.

Если a\textgreater0, получим:

\left\{\begin{matrix}\sqrt{16-4a}\textgreater a\\a\textgreater 0\end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}16-4a\textgreater a^2\\a\textgreater 0\end{matrix}\right. \Leftrightarrow

\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}a^2+4a-16\textless0\\a\textgreater 0\end{matrix}\right. \Leftrightarrow 0\textless a\textless2\sqrt{5}-2 .

Если a\textless 0, получим:

\left\{\begin{matrix}a\textless0 \hfill \\ \frac{\sqrt{16-4a}}{-a}\textgreater1\end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}a\textless0 \hfill \\ \sqrt{16-4a}\textless -a\end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}a\textless 0 \hfill \\ 16-4a\textgreater a^2\end{matrix}\right. \Leftrightarrow

\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}a\textless0 \hfill \\ a^2+4a-16\textless0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow -2-2\sqrt{5}\textless a \textless 0

Ответ: a\in(-2-2\sqrt{5};0)\cup(0;2\sqrt{5}-2)